浅谈gamma函数

我们尝试将阶乘函数从整数域拓展到实数域，这时就需要一些手段来构造一个函数\(f(x)\)满足对于\(\forall x\in N,f(x)=x!\)

\[\frac{1}{1-x}=\sum_{i=0}^\infty x^i\\ \]

这是易得的，考虑换种方式表现：

\[\int_{0}^{+\infty}e^{nt}dt\\=\int_{0}^{+\infty}e^xd\frac{x}{n}\\=\frac{1}{n}\int_{0}^{+\infty}e^xdx\\=\lim_{t\rightarrow +\infty}\frac{e^{nt}-1}{n} \]

当\(n\leq 0\)时，原式收敛于\(-\frac{1}{n}\)

是的，我们考虑用这东西来表示\(\frac{1}{1-x}\)

\[\frac{1}{1-x}=\int_{0}^{+\infty}e^{-t(1-x)}dt\\=\int_{0}^{+\infty}e^{-t}e^{xt}dt\\=\int_{0}^{+\infty}e^{-t}\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{(xt)^i}{i!}dt\\=\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{\int_{0}^{+\infty}e^{-t}t^idt}{i!}x^i \]

对照最开头的式子，有没有发现什么？

所以我们得到了：

\[n!=\int_{0}^{+\infty}e^{-x}x^ndx \]

也就是欧拉在\(\Large 22\)岁时想出的做法（而这个问题是哥德巴赫在\(\tiny 38\)岁时向伯努利请教的，碰巧欧拉和伯努利当时在一起。。。）

他所定义的\(\Gamma(x)=\int_{0}^{+\infty}e^{-t}t^{x-1}dt=(x-1)!\)

（为什么不直接定义成\(x!\)呢？）

至于应用，之后找时间再填坑吧

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\(\tt Upd:2021.9.17\)

我们可以用\(\Gamma\)函数化简级数

\[\begin{aligned} &\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i^i}\\ =&\sum_{i=1}^\infty\frac{\Gamma(i)}{i^i*(i-1)!}\\ =&\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i^i(i-1)!}\int_{0}^{+\infty}(\frac{t}{i})^{i-1}e^{-t}dt\\ =&\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{(i-1)!}\int_{0}^{+\infty}t^{i-1}e^{-it}dt\\ =&\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{(i-1)!}\int_{0}^{1}(-\ln u)^{i-1}u^id(-\ln u)\\ =&\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{(i-1)!}\int_{0}^{1}(-\ln u)^{i-1}u^{i-1}du\\ =&\int_0^{1}\sum_{i=1}^\infty\frac{(-u\ln u)^{i-1}}{(i-1)!}du\\ =&\int_0^1\exp(-u\ln u)du\\ =&\int_0^1u^{-u}du \end{aligned} \]

回代就自己回代吧

倒数第3步用了勒贝格控制收敛定理

（如果出锅我也懒得修了