Luogu 2680 NOIP 2015 运输计划（树链剖分，LCA，树状数组，树的重心，二分，差分）

Luogu 2680 NOIP 2015 运输计划（树链剖分，LCA，树状数组，树的重心，二分，差分）

Description

L 国有 n 个星球,还有 n-1 条双向航道,每条航道建立在两个星球之间,这 n-1 条航道连通了 L 国的所有星球。

小 P 掌管一家物流公司,该公司有很多个运输计划,每个运输计划形如:有一艘物

流飞船需要从 ui 号星球沿最快的宇航路径飞行到 vi 号星球去。显然,飞船驶过一条航道 是需要时间的,对于航道 j,任意飞船驶过它所花费的时间为 tj,并且任意两艘飞船之 间不会产生任何干扰。

为了鼓励科技创新,L 国国王同意小 P 的物流公司参与 L 国的航道建设,即允许小 P 把某一条航道改造成虫洞,飞船驶过虫洞不消耗时间。

在虫洞的建设完成前小 P 的物流公司就预接了 m 个运输计划。在虫洞建设完成后, 这 m 个运输计划会同时开始,所有飞船一起出发。当这 m 个运输计划都完成时,小 P 的 物流公司的阶段性工作就完成了。

如果小 P 可以自由选择将哪一条航道改造成虫洞,试求出小 P 的物流公司完成阶段 性工作所需要的最短时间是多少?

Input

第一行包括两个正整数 n、m,表示 L 国中星球的数量及小 P 公司预接的运输计划的数量,星球从 1 到 n 编号。

接下来 n-1 行描述航道的建设情况,其中第 i 行包含三个整数 ai, bi 和 ti,表示第

i 条双向航道修建在 ai 与 bi 两个星球之间,任意飞船驶过它所花费的时间为 ti。

接下来 m 行描述运输计划的情况,其中第 j 行包含两个正整数 uj 和 vj,表示第 j个 运输计划是从 uj 号星球飞往 vj 号星球。

Output

输出 共1行,包含1个整数,表示小P的物流公司完成阶段性工作所需要的最短时间。

Sample Input

6 3
1 2 3
1 6 4
3 1 7
4 3 6
3 5 5
3 6
2 5
4 5

Sample Output

11

Http

Luogu:https://www.luogu.org/problem/show?pid=2680

Source

树链剖分，最近公共祖先LCA，树的重心，二分，差分，树状数组

题目大意

给出一棵边权树，现在给定若干对点，要求选择一条树边使其权值为0，使得所有的点对的距离的最大值最小。

解决思路

基本的思路是先通过求最近公共祖先LCA来求得这若干对点对的距离。按照距离从大到小排序后，二分最大的距离\(mid\)，将那些距离大于\(mid\)的连接点对的路径打上标记，设有k个这样的路径。找出那些这k条路径都覆盖的边，判断如果把这条边距离设为0是否可以使得所有的路径长度都小于\(mid\)，如果可以，则说明该\(mid\)是可行的，否则不行。
但单纯的照上面这样做是不行的，我们考虑优化。
首先是求这若干组点对的距离。我们知道在树上求两点之间的距离与LCA有关，而求LCA有两种算法，一种是倍增法，另一种是树链剖分。这里为了方面后面的差分，同时也是为了减小常数，选用树链剖分的方法。我们将树按照轻重剖分成轻链和重链，将树上的问题转换成若干区间的问题。
接下来考虑如何维护区间。由题可知，本题需要维护的是路径长度，也就是若干边权之和。但对于边权的操作远不如点权方便，所以我们把边权转化成为点权，具体方法是将点\(u\)到其父亲节点\(f\)的边的权转化成为点\(u\)的点权。这里需要注意的是，将边权转化成为点权之后，两个点\(u,v\)之间的路径长度就不是\(u\)到\(lca(u,v)\)的点权和加\(v\)到\(lca(u,v)\)的点权和了，因为\(lca(u,v)\)的点权是到其父亲的边权，不在\(u\)到\(v\)的路径上，所以在向上跳转的时候要跳到\(lca\)的深度+1的点。同样需要改变的也包括区间查询和差分。
至于维护这个和，因为只有查询和插入，所以这里考虑使用常数更小的树状数组来实现。
现在考虑将选出的长度大于\(mid\)的路径标记。可以将路径上的每一条边标记+1，然后可以知道，如果有k条这样的路径，那么标记为k的边就是这k条路径都覆盖的。但是暴力标记是不行的。我们发现每次都是将k条路径都标记完后再操作，所以我们可以考虑差分。而又因为我们用树链剖分将树划分成链，所以可以参考求解LCA的在链上跳转的方式，在重链的top位置++，而在当前位置+1的地方--，注意，这些位置都是在点的新编号的位置（也就是在点在树状数组中的编号），因为这样就变成区间差分了。但是最后一条链的起始位置（即lca的位置）要+1，具体原因是我们把边权转化成了点权，而lca的点权代表的边权不在路径上。
最后来判断是否可行。因为最长路径一定会被选，所以我们在从\(1~n\)累加差分数组，当累加器\(ret==k\)时，判断最长路径减去当前点\(i\)对应的点权是否小于当前二分的\(mid\)，如果存在一条这样的边，则可行，否则不行。
另外，我们知道在树上操作的效率一定程度上取决于对根节点的选取，所以我们可以在最开始求出树的重心，并以重心为根，这样可以提高效率。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define ll long long
#define lowbit(x) ((x)&(-x))

const int maxN=300101;
const int maxM=300101;
const int inf=2147483647;

int n;

class Edge//边
{
public:
    int u,v,w;
};

class TreeArr//树状数组
{
public:
    int A[maxN];
    TreeArr()
        {
            memset(A,0,sizeof(A));
            return;
        }
    void Add(int pos,int x)//插入
        {
            while (pos<=n)
            {
                A[pos]=A[pos]+x;
                pos=pos+lowbit(pos);
            }
            return;
        }
    int Sum(int x)//求和1~x
        {
            int ret=0;
            while (x>0)
            {
                ret=ret+A[x];
                x=x-lowbit(x);
            }
            return ret;
        }
    int query(int l,int r)//求区间和
        {
            return Sum(r)-Sum(l-1);
        }
};

class Question//对于每一条路径
{
public:
    int u,v,w;
};

bool operator < (Question A,Question B)//按照路径长度降序排序
{
    return A.w>B.w;
}

int qus;
int root,rootsize;//重心，以及对应的最大子树-最小子树
int longestpath=0;//最长路径
//Graph 原来树中的data
int cnt=0;
int Head[maxN];
int Next[maxN*2];
Edge E[maxN*2];
int Node_W[maxN];//边权转化后的点权
//Tree_Chain 树链剖分维护的data
int Depth[maxN];//深度
int Father[maxN];//父节点编号
int Top[maxN];//链顶
int Size[maxN];//大小
int HeavySon[maxN];//重儿子
int Id[maxN];//Id[i]表示树状数组中i对应的原节点编号。若Id[i]==j则dfn[j]==i
int dfn[maxN];//原节点i对应的在树链剖分中分配的新编号
//TreeArr
TreeArr TA;//树状数组
//Q
Question Q[maxM];//点对和路径
//Insert
int Num[maxN];//差分数组

int read();
void Add_Edge(int u,int v,int w);
void dfs(int u,int father);//求重心
void dfs1(int u,int father);//树链剖分第一遍dfs
void dfs2(int u,int nowTop);//树链剖分第二遍dfs
int Calc_Path(int u,int v);//计算u到v的路径长度
bool check(int nowmid);//检查当前最大距离是否合法
void Insert(int u,int v);//将u到v的路径差分标记

int main()
{
    memset(Head,-1,sizeof(Head));
    rootsize=inf;
    n=read();
    qus=read();
    for (int i=1;i<n;i++)//读入边
    {
        int u,v,w;
        u=read();
        v=read();
        w=read();
        Add_Edge(u,v,w);
        Add_Edge(v,u,w);
    }
    //处理出重心
    dfs(1,1);

    //树链剖分
    Depth[1]=1;
    dfs1(root,root);
    cnt=0;
    dfs2(root,root);
    for (int i=1;i<=n;i++)//将边权转化成点权并存入树状数组
        TA.Add(dfn[i],Node_W[i]);

    //求解路径
    for (int i=1;i<=qus;i++)
    {
        Q[i].u=read();
        Q[i].v=read();
        Q[i].w=Calc_Path(Q[i].u,Q[i].v);
        longestpath=max(Q[i].w,longestpath);//选出最长路径
        //cout<<Q[i].w<<endl;
    }

    sort(&Q[1],&Q[qus+1]);//将路径排序

    int l=1,r=longestpath;//二分
    int Ans;
    do
    {
        int mid=(l+r)/2;
        if (check(mid))//检查
        {
            Ans=mid;
            r=mid-1;
        }
        else
            l=mid+1;
    }
    while (l<=r);
    printf("%d\n",Ans);
    return 0;
}

int read()
{
    int x=0;
    char ch=getchar();
    while ((ch>'9')||(ch<'0'))
        ch=getchar();
    while ((ch<='9')&&(ch>='0'))
    {
        x=x*10+ch-48;
        ch=getchar();
    }
    return x;
}

void Add_Edge(int u,int v,int w)
{
    cnt++;
    Next[cnt]=Head[u];
    Head[u]=cnt;
    E[cnt].u=u;
    E[cnt].v=v;
    E[cnt].w=w;
    return;
}

void dfs(int u,int father)//求重心
{
    Size[u]=1;
    int mx=0,mn=inf;//分别记录最大子树和最小子树
    for (int i=Head[u];i!=-1;i=Next[i])
    {
        int v=E[i].v;
        if (v==father)
            continue;
        dfs(v,u);
        Size[u]+=Size[v];
        if (Size[v]>mx)
            mx=Size[v];
        else
            if (Size[v]<mn)
                mn=Size[v];
    }
    if (n-Size[u]>mx)
        mx=n-Size[u];
    else
        if (n-Size[u]<mn)
            mn=n-Size[u];
    if ((mx!=0)&&(mn!=inf)&&(mx-mn<rootsize))
    {
        root=u;
        rootsize=mx-mn;
    }
    return;
}

void dfs1(int u,int father)//树链剖分第一次dfs
{
    Size[u]=1;
    HeavySon[u]=0;
    for (int i=Head[u];i!=-1;i=Next[i])
    {
        int v=E[i].v;
        if (v==father)
            continue;
        Father[v]=u;
        Depth[v]=Depth[u]+1;
        Node_W[v]=E[i].w;//将边权转换成点权
        dfs1(v,u);
        Size[u]=Size[u]+Size[v];
        if ((HeavySon[u]==0)||(Size[HeavySon[u]]<Size[v]))
            HeavySon[u]=v;
    }
    return;
}

void dfs2(int u,int nowTop)//树链剖分第二次dfs
{
    cnt++;
    dfn[u]=cnt;
    Id[cnt]=u;
    Top[u]=nowTop;
    if (HeavySon[u]==0)
        return;
    dfs2(HeavySon[u],nowTop);
    for (int i=Head[u];i!=-1;i=Next[i])
        if ((E[i].v!=Father[u])&&(E[i].v!=HeavySon[u]))
            dfs2(E[i].v,E[i].v);
    return;
}

int Calc_Path(int u,int v)//计算u到v的路径长
{
    int path=0;
    while (Top[u]!=Top[v])
    {
        if (Depth[Top[u]]<Depth[Top[v]])
            swap(u,v);
        path+=TA.query(dfn[Top[u]],dfn[u]);
        u=Father[Top[u]];
    }
    if (Depth[u]>Depth[v])
        swap(u,v);
    return path+TA.query(dfn[u]+1,dfn[v]);
}

bool check(int nowmid)//检查合法性
{
    int pos=0;
    while (Q[pos+1].w>nowmid)//将路径长度大于mid的路径加入差分
    {
        pos++;
        Insert(Q[pos].u,Q[pos].v);
    }
    int now=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        now=now+Num[i];
        Num[i]=0;
        if ((now==pos)&&(longestpath-Node_W[Id[i]]<=nowmid))//当当前第i个点被所有pos条不满足的路径都覆盖时，若最长路径减去其点权比nowmid小，说明能够满足
        {
            for (int j=i+1;j<=n;j++)
                Num[j]=0;
            return 1;
        }
    }
    return 0;
}

void Insert(int u,int v)//差分
{
    while (Top[u]!=Top[v])
    {
        if (Depth[Top[u]]<Depth[Top[v]])
            swap(u,v);
        Num[dfn[Top[u]]]++;
        Num[dfn[u]+1]--;//注意这里+1
        u=Father[Top[u]];
    }
    if (Depth[u]>Depth[v])
        swap(u,v);
    Num[dfn[u]+1]++;//常规的差分这里是不要+1的，但这里需要，因为dfn[u]所对应的边不在u到v的路径上
    Num[dfn[v]+1]--;
    return;
}