向量与几何

向量基本概念

向量叉乘:\(\{\vec{a}\times \vec{b}\}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\sin\theta\),方向依据右手定则. 食指指向 \(\vec{a}\),拇指方向即为向量方向. 叉乘后的向量模几何意义为平行四边形面积.

向量点积:\(\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2\). 结果为标量.

不难发现,\((\vec{a}\times\vec{b})\)\(\vec{a},\vec{b}\) 均垂直. (在立体角度考虑.) 立体几何中求法向量就是求这个向量积.

\(\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}\). 模显然相等,根据右手定则可判断方向相反.

三角形的五心

重心

\(\Delta ABC\) 中,\(AD,CF,BE\) 分别为角平分线. 三条线交于一点 \(G\),称 \(G\)\(\Delta ABC\) 的重心.

满足 \(\vec{AD}=\dfrac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{AC}),AE=\dfrac{2}{3}\vec{AD},\vec{AG}=\dfrac{1}{3}(\vec{AB}+\vec{AC})=\dfrac{1}{3}(\vec{GB}-\vec{GA+\vec{GD}-\vec{GA}})\)

\(3\) 乘过去,得

\[-3\vec{GA}=\vec{GB}+\vec{GC}-2\vec{GA} \]

\[\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0} \]

反之,若点 \(O\) 满足 \(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{0}\),则点 \(O\) 必定为 \(\Delta ABC\) 的重心.

同时,若令 \(S_{\Delta ABG}=S_C,S_{\Delta AGC}=S_B,S_{\Delta BGC}=S_A\),则有 \(S_A=S_B=S_C=\dfrac{1}{3}S_{\Delta ABC}\).

因此

\[\vec{GA}\cdot S_A+\vec{GB}\cdot S_B+\vec{GC}\cdot S_C=\vec{0} \]

同样成立.

奔驰定理

Lemma. 在任意的 \(\Delta ABC\) 内,任取一点 \(O\),得 \(OA,OB,OC\)\(S_A\cdot \vec{OA}+S_B\cdot\vec{OB}+S_C\cdot\vec{OC}=\vec{0}\) 恒成立.

Proof.

不妨首先钦定 \(O\)\(\Delta ABC\) 重心. 在 \(OA\) 上取一点 \(A'\)\(OB\) 上取一点 \(B'\)\(OC\) 上取一点 \(C'\). 得子三角形 \(A'B'C'\).

分别记 \(S_A\cdot \vec{OA},S_B\cdot\vec{OB},S_C\cdot\vec{OC}\)\(\vec{OA'},\vec{OB'},\vec{OC'}\).

则有 \(\vec{OA'}+\vec{OB'}+\vec{OC'}=\vec{0}\).

因此,\(O\) 是三角形 \(A'B'C'\) 的重心.


由上,若证明 \(O\) 是三角形 \(A'B'C'\) 的重心,则可证明命题. 即需证明 \(S_{\Delta OB'C'}=S_{\Delta OC'A'}=S_{\Delta OA'B'}\).

\[S_{\Delta OB'C'}=\dfrac{1}{2}|OB'|\cdot|OC'|\cdot\sin\alpha \]

\[=\dfrac{1}{2}S_A\cdot|OA|\cdot|OC|\cdot S_c\cdot \sin\alpha \]

\[=S_AS_BS_C \]

同理可证明另外两个三角形面积等于 \(S_AS_BS_C\). 命题得证.

因此,重心,内心,垂心都有类似的结果. 例如,对于内心,有

\[a\cdot\vec{IA}+b\cdot\vec{IB}+C\cdot\vec{IC}=\vec{0} \]

对于外心,有

\[\sin 2A\cdot\vec{OA}+\sin 2B\cdot\vec{OB}+\sin 2C\cdot\vec{OC}=\vec{0} \]

对于垂心,有

\[\tan A\cdot\vec{OA}+\tan B\cdot\vec{OB}+\tan C\cdot\vec{OC}=\vec{0} \]

欧拉线

Lemma. 对于任意三角形 \(ABC\),作 \(AP\) 垂直于 \(BC\)\(BH\) 垂直于 \(AC\),作角 \(B\) 的角平分交 \(AC\) 于点 \(M\). 作角 \(A\) 的角平分线 \(AQ\)\(BM\)\(G\),不难发现 \(G\) 为该三角形内心. 钦定三角形 \(ABC\) 的外心为 \(O\),则有 \(OGH\) 三点共线. 同时有 \(\vec{OH}=3\vec{OG}\).

即重心,外心,垂心三点共线,且重心在靠近垂心(\(O\))的三等分点上.

Proof.

\(\vec{OH}=\vec{OA}+\vec{AH},\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}\),拆分之,得

\[\vec{OA}-\vec{OG}+\vec{OB}-\vec{OG}+\vec{OC}-\vec{OG}=\vec{0} \]

\(\vec{OG}=\dfrac{1}{3}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})\).

下面证明 \(AH=2OD\).

作三角形 \(ABC\) 的外接圆. 圆心为 \(O\),延长 \(OB\) 交圆 \(O\) 于点 \(A'\),连接 \(A'C,AA',AH,HC\),不难证明四边形 \(AHCA'\) 为平行四边形. (两组对边分别平行.)

所以,\(\vec{AH}=\vec{A'C}=2\vec{OD}=\vec{OB}+\vec{OC}\).(可用解析几何方式证明,即将三角形 \(ABC\) 放到坐标系中,用坐标证明.)

\(\vec{OH}=\vec{OA}+\vec{AH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\),再次代入 \(\vec{OG}\)\(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\) 关系,即可证明命题.

我们把这三点共的线称为欧拉线.

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