向量与几何
向量基本概念
向量叉乘:\(\{\vec{a}\times \vec{b}\}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\sin\theta\),方向依据右手定则. 食指指向 \(\vec{a}\),拇指方向即为向量方向. 叉乘后的向量模几何意义为平行四边形面积.
向量点积:\(\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2\). 结果为标量.
不难发现,\((\vec{a}\times\vec{b})\) 与 \(\vec{a},\vec{b}\) 均垂直. (在立体角度考虑.) 立体几何中求法向量就是求这个向量积.
\(\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}\). 模显然相等,根据右手定则可判断方向相反.
三角形的五心
重心
在 \(\Delta ABC\) 中,\(AD,CF,BE\) 分别为角平分线. 三条线交于一点 \(G\),称 \(G\) 为 \(\Delta ABC\) 的重心.
满足 \(\vec{AD}=\dfrac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{AC}),AE=\dfrac{2}{3}\vec{AD},\vec{AG}=\dfrac{1}{3}(\vec{AB}+\vec{AC})=\dfrac{1}{3}(\vec{GB}-\vec{GA+\vec{GD}-\vec{GA}})\)
将 \(3\) 乘过去,得
即
反之,若点 \(O\) 满足 \(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{0}\),则点 \(O\) 必定为 \(\Delta ABC\) 的重心.
同时,若令 \(S_{\Delta ABG}=S_C,S_{\Delta AGC}=S_B,S_{\Delta BGC}=S_A\),则有 \(S_A=S_B=S_C=\dfrac{1}{3}S_{\Delta ABC}\).
因此
同样成立.
奔驰定理
Lemma. 在任意的 \(\Delta ABC\) 内,任取一点 \(O\),得 \(OA,OB,OC\), \(S_A\cdot \vec{OA}+S_B\cdot\vec{OB}+S_C\cdot\vec{OC}=\vec{0}\) 恒成立.
Proof.
不妨首先钦定 \(O\) 为 \(\Delta ABC\) 重心. 在 \(OA\) 上取一点 \(A'\),\(OB\) 上取一点 \(B'\),\(OC\) 上取一点 \(C'\). 得子三角形 \(A'B'C'\).
分别记 \(S_A\cdot \vec{OA},S_B\cdot\vec{OB},S_C\cdot\vec{OC}\) 为 \(\vec{OA'},\vec{OB'},\vec{OC'}\).
则有 \(\vec{OA'}+\vec{OB'}+\vec{OC'}=\vec{0}\).
因此,\(O\) 是三角形 \(A'B'C'\) 的重心.
由上,若证明 \(O\) 是三角形 \(A'B'C'\) 的重心,则可证明命题. 即需证明 \(S_{\Delta OB'C'}=S_{\Delta OC'A'}=S_{\Delta OA'B'}\).
同理可证明另外两个三角形面积等于 \(S_AS_BS_C\). 命题得证.
因此,重心,内心,垂心都有类似的结果. 例如,对于内心,有
对于外心,有
对于垂心,有
欧拉线
Lemma. 对于任意三角形 \(ABC\),作 \(AP\) 垂直于 \(BC\),\(BH\) 垂直于 \(AC\),作角 \(B\) 的角平分交 \(AC\) 于点 \(M\). 作角 \(A\) 的角平分线 \(AQ\) 交 \(BM\) 于 \(G\),不难发现 \(G\) 为该三角形内心. 钦定三角形 \(ABC\) 的外心为 \(O\),则有 \(OGH\) 三点共线. 同时有 \(\vec{OH}=3\vec{OG}\).
即重心,外心,垂心三点共线,且重心在靠近垂心(\(O\))的三等分点上.
Proof.
\(\vec{OH}=\vec{OA}+\vec{AH},\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}\),拆分之,得
则 \(\vec{OG}=\dfrac{1}{3}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})\).
下面证明 \(AH=2OD\).
作三角形 \(ABC\) 的外接圆. 圆心为 \(O\),延长 \(OB\) 交圆 \(O\) 于点 \(A'\),连接 \(A'C,AA',AH,HC\),不难证明四边形 \(AHCA'\) 为平行四边形. (两组对边分别平行.)
所以,\(\vec{AH}=\vec{A'C}=2\vec{OD}=\vec{OB}+\vec{OC}\).(可用解析几何方式证明,即将三角形 \(ABC\) 放到坐标系中,用坐标证明.)
\(\vec{OH}=\vec{OA}+\vec{AH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\),再次代入 \(\vec{OG}\) 与 \(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\) 关系,即可证明命题.
我们把这三点共的线称为欧拉线.
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