[物理]运动学基础理论串讲

高中物理必修一运动学基础理论串讲

公式 · 推论

前言：运动学中，所有的公式都有其对应的几何意义。解决问题时，我们不应死套公式，应当在图像中解决问题。在图像中看清问题的本质。

除了速方差，绝大多数公式都是位移和时间的函数，因此，若能求出运动时间，大概率会使计算更加简便。

\(v_t=v_0+at\)。已知初速度和加速度求末速度。

\(x=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2\)。算位移的基础公式。

\(v_t^2-v_0^2=2ax\)。研究末速度和初速度之间关系。（速方差公式。）题干条件不给时间，也不问时间，考虑速方差。换句话说，少 \(t\) 一定要用速方差。

\(x=\dfrac{v_0+v_t}{2}t\)。（平均速度乘时间，即中间时刻的瞬时速度乘时间。）

几何意义：

上述是基本公式。无条件成立。下面公式有限制条件，是在基本公式基础上推导的，但是非常常用，需要记住。

当满足等时间差时，\(\Delta x = aT^2\)。（\(T\) 为每一段的时间，\(\Delta x\) 表示相邻两端时间的位移差值。）证明，考虑几何意义。这个公式在 打点计时器实验 中常用。显然在打点计时器中，时间差是相等的。无论是取计时点还是计数点。

常用比例式（匀加速，初速度为 \(0\)，\(\Delta t\) 相等，即连续相等的时间位移之比）：

等分时间的比例式：

\(1:2:3:4\) 运动的总时长之比。（等价于每个时段末的瞬时速度比，原因显然。）

\(1:4:9:16\) 累计运动的位移之比。（前多少段）

\(1:3:5:7\) 每个时段的位移之比。基于上面比例式。（每……段）

几何意义：\(v-t\) 图像

---

下面我们等分面积。

当初速度为 \(0\)，连续等位移时，存在下面图像。

上述四个三角形的面积之比是 \(1:2:3:4\)。

同理，累计时间之比为 \(1:\sqrt{2}:\sqrt{3}:\sqrt{4}\)。注意到由于三角形都相似，底之比等于高之比，而每个三角形的高意义为 每个时段末的瞬时速度，故每个时段末的瞬时速度比也为 \(1:\sqrt{2}:\sqrt{3}:\sqrt{4}\)。

\((\sqrt{2}-1):(\sqrt{3}-\sqrt{2}):(\sqrt{4}-\sqrt{3})\dots\) 走完每一段位移 \(x\) 的分时间之比。即连续等位移的分时间之比。

\((\sqrt{2}-1),(\sqrt{3}-\sqrt{2}),(\sqrt{4}-\sqrt{3})\dots\) 该数列是单调递减的。

证明：考虑分子有理化。注意到 \(\sqrt{2}-1,\sqrt{3}-\sqrt{2}\dots\)，凑成平方差公式即可有理化。因此，我们先全转为倒数，然后执行分母有理化即可。

在匀变速直线运动中，一段时间的平均速度，等价于初速度和末速度和的一半，又等价于中间时刻的瞬时速度。

证明：考虑 \(v-t\) 图像上的 \(x\)。

梯形面积为 \(x\)，如果令 \(\dfrac{x}{t}\)，得到梯形的中位线。中位线在 \(v-t\) 图像上的意义为 \(\dfrac{t}{2}\) 时刻的瞬时速度。

至于“平均速度等于初速度和末速度和的一半”，即为梯形的面积公式。

上文提及，中时速度为 \(\dfrac{v_t+v_0}{2}\)，进一步的，我们可推导中位速度为 \(\sqrt{\dfrac{v_t^2+v_0^2}{2}}\)。推导过程运用了速方差。

考虑证明。首先我们要设加速度 \(a\)，加速度是匀变速直线运动的精髓所在。设中位速度为 \(v'\)。总位移为 \(2x\)。初速度为 \(v_0\)，末速度为 \(v_t\)。

目前已知位移，加速度，求中位速度，不求时间，也没有时间。考虑速方差。分别对两端位移进行速方差处理，如下。

\[v'^2-v_0^2=2ax \]

\[v_t^2-v'^2=2ax \]

即 \(v'^2-v_0^2=v_t^2-v'^2\)。

继而得 \(v'=\sqrt{\dfrac{v_t^2+v_0^2}{2}}\)。

上述中位速度推导过程体现了速方差的应用。同时，在匀变速直线运动中（\(a\ne 0\)），\(v_{t/2}<v_{x/2}\)，无条件成立。在匀速直线运动中，\(v_{t/2}=v_{x/2}\)。

证明：考虑对两部分平方处理。由于速度的正负仅表示方向，不表示大小，大小仅和绝对值有关。故平方后作差即可证明。

自由落体 · 竖直上抛运动

自由落体：本质是匀加速直线运动，初速度为 \(0\)，加速度为 \(g\)。

竖直上抛：本质是匀减速直线运动。我们已知初速度，物体竖直运动到最顶端速度为 \(0\)，可求出加速度，即当前位置的重力加速度 \(g\)。 分析竖直上抛时可整体分析（匀减速直线运动），也可拆分成匀减速直线运动和自由落体。能整体分析就整体分析。

竖直上抛运动有一个初速度 \(v_0\)，运动到最高点的速度为 \(0\)，由 \(v_t=v_0+at\) 可得，\(0=v_0+gt\)，依此可求 \(t\)，比较好想。已知初速度和末速度加速度，求运动时间是显然的。求出运动时间后，利用 \(x=v_0t+\dfrac{1}{2}gt^2\) 可求位移。竖直上抛运动的求解中，最高点速度为 \(0\) 是关键。

竖直上抛运动求运动路程，分别求两部分位移和再相加即可。匀减速运动部分常用速方差求解。自由落体部分根据条件求解即可。（题目中可能会给定总时间，求出匀减速运动部分时间即可求出自由落体时间。）

竖直上抛运动具有对称性，物体上升到点 \(a\)，又下降到点 \(a\)，瞬时速度相等，且时间相等。（\(a\) 到最高点的时间和最高点到 \(a\) 的时间相等。）分析竖直上抛运动时，注意速度方向。速度只有规定了正方向才有意义。

例如，物体从 \(A\) 点开始初速度为 \(v_0\) 竖直上抛，下落到 \(B\) 点时，经过时间为 \(t\)，求 \(|AB|\)。这个问题直接代 \(x=v_0t+\dfrac{1}{2}gt^2\) 即可。因为竖直上抛本质是匀减速直线运动。

若已知 \(|AB|=x\)，竖直上抛初速度为 \(v_0\)，求 \(v_B\)。我们已知初速度，位移，隐含条件是重力加速度 \(g\)，求末速度。不求时间，直接代速方差即可。

竖直上抛是一种初速度为 \(0\) ，加速度大小为 \(g\) 的匀减速直线运动，它可以套用匀变速直线运动的任何公式，速方差变为 \(v_t^2=2gh\)，即 \(v_t=\sqrt{2gh}\)。注意 \(h\) 是位移，而非路程。

同时，\(x=v_0+\dfrac{1}{2}at^2\) 在自由落体运动中变为 \(x=\dfrac{1}{2}gt^2\)。同理可求 \(t\)，不再赘述。

自由落体运动的初速度为 \(0\)，加速度大小恒为 \(g\)，可套用所有比例式。（等分时间/等分位移。）

自由落体和竖直上抛运动可能放到一起考，画图象求解时一定注意，二者运动的加速度大小，方向都是 \(g\)，都是相等的。竖直上抛本质是匀减速直线运动，故图像是一个向下的（默认向上为正），斜率一致的直线。自由落体和竖直上抛图像斜率应当相同，即图像应当平行，例如

当自由落体和竖直上抛同时发生，求何时相遇。相遇点有且仅有一个当且仅当竖直上抛物体初始位置在自由落体物体下。注意到两物体相遇和对地位移没有关系，和相对位移有关系，如图。

如上图，在 \(v-t\) 图像中，拥有初速度 \(v_0\)，方向向上，加速度 \(g\)，方向向下的物体 \(A\) 做竖直上抛运动；拥有初速度 \(0\)，加速度 \(g\) 的物体 \(B\) 做自由落体运动。二者在时间 \(t\) 的位移几何上表示为平行四边形面积。（在这里，相对位移表示两物体对地位移之和。）不难发现，相对位移 \(x=v_0t\)。两物体相遇当且仅当相对位移 \(x\) 等于初始距离 \(h\)，即可求解。

我们也可这样理解，考虑二者运动实质。二者的加速度是一致的，都是 \(g\)，且方向向下。若二者初速度相同，起始高度不同，则不可能在落地前相遇。由此观之，下面物体能和上面物体相遇原因在于下面物体拥有向上的初速度 \(v_0\) 来 “弥补”差距。因此，我们可以把该运动看作 物体 \(A\) 相对于物体 \(B\) 做匀速直线运动。这是一种常见变化。（事实上，作 \(v-t\) 图像求相对位移得到的也是该结论。）