[刷题笔记] Luogu P1612 [yLOI2018] 树上的链

Problem

Description

Description

给定一棵有 \(n\) 个节点的树。每个节点有一个点权和一个参数。节点 \(i\) 的权值为 \(w_i\)，参数为 \(c_i\)。\(1\) 是这棵树的根。

现在，对每个节点 \(u\)（\(1 \leq u \leq n\)），请在树上你找到最长的一条链 \(v_1, v_2, \dots v_m\)，满足如下条件：

1. \(v_1 = u\)。
2. 对 \(2 \leq i \leq m\)， 有 \(v_i\) 是 \(v_{i - 1}\) 的父节点。
3. 链上节点的点权和不超过 \(c_u\)，即 \(\sum_{j = 1}^m w_{v_j} \leq c_u\)。

对全部的测试点，保证 \(1 \leq u, v \leq n \leq 10^5\)，\(1 \leq p_i \lt i\)，\(1 \leq w_i \leq c_i \leq 10^9\)。

Analysis

一种暴力的方法是对于每个点向上 dfs，直接模拟即可。

实际上我们只需要一遍 dfs 即可解决问题。

注意到“链” 的定义：节点 \(u\) 向上走的路径叫做链。因此我们可以用一个栈动态维护链内元素。每次搜到时入栈，回溯时弹栈。

入栈的不一定是节点本身，也可以是节点的某种信息。本题中我们将每个节点的 \(w\) 到根节点的前缀和入栈。题目要求满足 \(\sum_{j = 1}^m w_{v_j} \leq c_u\) 的最大长度链，即最小化链头下标。容易发现可以二分解决。

令链头为 \(v\)，链尾为 \(u\)，即求 \(\min(v)\) 满足 \(a_u-a_v\le c_u\)。这个式子不好二分，我们移项得 \(a_v\ge a_u-c_u\)。对于 \(\forall u\)，\(a_u-c_u\) 是定值。直接二分即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 1000100;
int n;
vector <int> Edge[N],stk;
int w[N],c[N];
int ans[N];
void dfs(int u)
{
 //   cout<<u<<endl;
    stk.push_back(stk.back()+w[u]);
    int sum = 0 ;
    int l = 0 , r = stk.size() - 1;
    while(l <= r)
    {
      //  cout<<l<< " "<<r<<endl;
        int mid = (l+r) >> 1;
      //  cout<<mid<<endl;
        if(stk.back()-stk[mid] <= c[u] ) 
        {
            sum = mid;
            r = mid - 1;
        }
        else l = mid + 1;
    }
    ans[u] = stk.size() - sum - 1;
    for(auto v:Edge[u]) dfs(v);
    stk.pop_back();
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    cin>>n;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        int p;
        cin>>p;
        Edge[p].push_back(i);
    }  
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>c[i];
    stk.push_back(0);
    dfs(1);  
    for(int i=1;i<=n;i++) cout<<ans[i]<<" ";
    cout<<endl;
    return 0;
}