[算法学习笔记] 可持久化栈

前置知识

可持久化，即对于每次更改，我们都期望记录它的历史信息。容易进行可持久化的数据结构通常满足 修改数据结构是，数据结构本身的拓扑序没有改变。，即形态没有改变。例如线段树，Trie 树，数组都可以容易地进行可持久化。

可持久化线段树前面已经讲过，见 算法学习笔记 线段树。

在阅读本文前， 建议读者了解手写栈和链表操作。

概述

可持久化栈是一种支持 栈顶修改，回退历史版本，栈顶查询 的一种数据结构。由于手写栈依赖于数组，我们可以用可持久化数组解决问题。这样我们可以随机访问栈中元素。但很多情况下我们没有这种需求。省去随机访问需求后的可持久化栈可以做到单次修改时间复杂度 \(O(1)\)，空间复杂度 \(O(n)\)。线性时间内就可以解决问题。

实现

原理非常简单，每次入栈我们存档，记录当前版本号所对应的栈顶元素。容易发现，多个版本串联起来就组成了我们的栈。类似于链表结构。

这里我们通过画图举例。

如图，我们有一个大小为 \(8\) 的栈，只不过这里将栈横过来了。依次入栈 \(1-8\)。类似于链表，我们记录每个节点的前驱。这样就把节点串起来了。如果想要删除，退回到前驱即可。如果想要回退到任意版本，我们记录每个版本对应的栈顶。回退即可。

接下来我们将讲解可持久化栈的例题。

例题

[ABC273E] Notebook

Description

有一个版本保存系统，共有 \(10^9\) 个版本，每个版本初始都为空列表，还需要维护一个列表（后称为“当前列表”）。
您需要实现如下四种操作：

• ADD x：在当前列表的末尾添加 \(x\)
• DELETE：如果当前列表非空，把当前列表的末尾最后一个数删除。否则，什么也不做。
• SAVE x：把当前列表保存至第 \(x\) 版本（在此后完成的操作不会在第 \(x\) 版本中出现，而且保存后当前列表不清空）
• LOAD x：把当前列表变成第 \(x\) 版本（直接赋值，而不是添加，而且保存后第 \(x\) 版本不清空）
  给定 \(q\) 次操作，每次操作是以上四种操作，求每次操作后的当前列表的末尾最后一个数（若数组为空输出 \(-1\)）。

可持久化栈的板子题。

对于 ADD 操作， 我们需要在添加同时，新开版本并记录当前版本的栈顶，同时将当前版本节点同上一个版本节点相连。这很简单，只需要开一个变量 last 记录上一个版本号即可。

对于 DELETE 操作，直接将当前所在版本回滚到它的前驱即可。

对于 SAVE 操作，保存版本即可。

对于 LOAD 操作，也就是回滚版本。由于我们先前已经记录了每个版本所对应的栈顶，直接回滚即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e5+5;
int n;
int q;
int idx = 0;
int fa[N],val[N];
map <int,int> pos;
int last = 0;
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    cin>>q;
    for(int i=1;i<=q;i++)
    {
        string op;
        cin>>op;
        int x;
        if(op == "ADD")
        {
            cin>>x;
            idx ++;
            val[idx] = x;
            fa[idx] = last;
            last = idx; 
        }
        else if(op == "SAVE") 
        {
            cin>>x;
            pos[x] = last;
        }
        else if(op == "DELETE")
        {
            last = fa[last];
        }
        else
        {
            cin>>x;
            last = pos[x];
        }
        if(last) cout<<val[last]<<" ";
        else cout<<"-1"<<" "; 
    }
}

练习：Luogu P6182，和本题基本一致。都是可持久化栈的板子。