[学习笔记] CSP-S 初赛理论

LAST UPD:2023/09/09

内容非常杂乱，算是初赛前的总结吧qwq

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排序算法比较

• 插入排序，冒泡排序，选择排序 ： \(O(n^2)\)

• 其他非线性排序的时间复杂度为 \(O(n)\)

• 线性排序的时间复杂度为 \(O(n)\) 。

稳定性比较：

插入，冒泡，二叉树，归并以及其他的线性排序是稳定的。反之，选择，希尔，快速，堆排序是不稳定的。例子需要记忆。

汉字存储

一级汉字按照拼音排序，二级汉字按照部首排序。

一般使用数字化点阵字模存储，具体地，每个字节有 8 个二进制位，因此， \(x\times x\) 个二进制位存储的，每 8 个二进制位占用一个字节，所以需要字节数为 \(x\times x \div 8\)。

关于存储单位

从小到大依次是：B,KB,MB,GB,TB,PB。换算关系为 1024。

计算机常识

首位程序员：Ada Lovelace

首台计算机：ENIAC，冯诺依曼设计。

RAM：读写存储器，当电源电压去除时，数据会丢失。

ROM：只读存储器。其存储的信息在制造的时候就存入的。当断电后，数据不会丢失。BIOS就是固化在主板上ROM的一个程序。

内存储器：包括RAM,ROM和高速缓冲存储器Cache三种。

CPU能访问到的最大内存取决于地址总线。地址总线很小但是内存很大毫无意义。

字长：指计算机能处理的二进制代码的位数。目前常有的有16，32，64位字长的计算机。

计算机系统总线上传送的信号有：数据信号，控制信号，地址信号。CPU内部的寄存器比外部的高速缓存储器Cache要快很多。

微型计算机仍属于超大鬼母集成电路。图灵是英国人。冯诺依曼是美国人。

Tree 的基本定义以及前缀，中缀，后缀遍历

先序遍历 类似于DFS

• 访问根节点

• 先序遍历左子树

• 先序遍历右子树

中序遍历

• 中序遍历左子树

• 访问根节点

• 中序遍历右子树

后序遍历

• 后序遍历左子树

• 后序遍历右子树

• 访问根节点

利用上述我们可以处理前缀表达式，中缀表达式，后缀表达式。直接建树处理即可。

组合数学

最基础的排列组合公式

S 初赛近几年数学的最常见考法，非常简单。

\[C _m^n=\frac{n!}{m!\times (n-m)!} \]

\[A_m^n=\frac{n!}{m!} \]

卡特兰数

卡特兰数是这样的一种数列：

上述递推关系的解为：

\[H_n=\frac{C_{2n}^n}{n+1}(n\geq 2,n\in N+) \]

这个公式可以推导，见卡特兰数学习笔记

插板法

插板法（Stars and bars）是用于求一类给相同元素分组的方案数的一种技巧，也可以用于求一类线性不定方程的解的组数。

接下来我们会通过几个问题来进一步理解插板法。

Q1:正整数和的数目

现有 \(n\) 个完全相同的元素，要求分成 \(k\) 组，保证每一组都不为空，共有几种分发？

考虑在 \(n\) 个 元素，两两构成的 \(n-1\) 个空隙中插入 \(k-1\) 个板子。

答案显然为 \(C_{k-1}^{n-1}\)

Q2:非负整数和的数目

在 Q1 的基础上，我们规定每组可以为空。求有几种分发。

我们显然无法直接插板，不妨先“借” \(k\) 个数，使得每组都有数字，最后再减去“借”的 \(k\) 个数即可。这样就形成了“每组可以为空”。

答案为 \(C_{k-1}^{n+k-1}\)

同时满足：

\[C_{k-1}^{n+k-1}=C_{n}^{n+k-1} \]

定理：组合恒等式

\[C_{m}^{n}=C_{n-m}^{n} \]

这就是插板法的公式。

Q3:不相邻的排列

在 Q1 的基础上，要求每组数不得少于 \(a_i\) 个。

借鉴 Q2 的处理方法，我们先 “借” \(\sum a_i\) 个元素，以确保每组数的和都符合题意。也就是令：

\['x_i=x_i-a_i('x_i\geq 0) \]

\(x_i\) 即为每组内有多少个数。

得到方程：

套用插板法公式即可解决问题。

\[ans=C_{n-\sum a_i}^{n-\sum a_i+k-1} \]

二项式定理

先给出公式：

\[(a+b)^n = \sum \limits_{i=0}^n C_i^na^{n-i}b^i \]