[算法学习笔记] 树的常用处理方法

Trick：在递归中一定要开局部变量，全局变量每次递归都会改变，影响答案！

树的遍历

对树进行 dfs，处理每个节点作为重心的时候各个连通块点数最大值即可。

对于重心上面的连通块，可以用 \(n-\) 下面连通块点数和 \(-1\)。

实现

int dfs(int now)
{
    vis[now] = 1;
    int sum = 1,res = 0;
    for(int i=0;i<Edge[now].size();i++)
    {   
        int v = Edge[now][i];
        if(!vis[v])
        {
            int t = dfs(v);
            sum += t;
            res = max(res,t);
        }
    }
    res = max(res,n-sum);
    if(res <= ans)
    {
        ans = res;
        minn_num = now;
    }
    return sum;
}

求树的直径

法1：进行两次 dfs，任取一点先求出到它的最远距离，再从最远距离的那个点再跑一遍。

法2：树形 dp。显然直径上的点从它开始的最远距离和次远距离一定是直径的两个端点。求出每个节点开始走的最远距离和次远距离之和再取 max 即可。

在树形 dp 的时候还需要注意，从 \(u\) 点出发的最大距离点和次大距离点必须 不是由同一个 \(v\) 转化而来的。我们显然需要确保直径是简单路径。

这也很简单，在尝试直接更新次长路时，确保该 \(v\) 没有被最长路利用，else if 即可。

实现

树形 dp

void  dfs(int now,int fa)
{
    for(int i=0;i<Edge[now].size();i++)
    {
        int v = Edge[now][i];
        if(v == fa) continue;
        dfs(v,now);
        if(d1[v] + 1 > d1[now])
        {
            d2[now] = d1[now];
            d1[now] = d1[v] + 1;
        }
        else if(d1[v] + 1 > d2[now]) d2[now] = d1[v] + 1; //使用else if确保不重复
    }
}

两遍 dfs

void dfs(int now,int fa,int dis)
{
    for(int i=0;i<Edge[now].size();i++)
    {
        int v = Edge[now][i].first,w = Edge[now][i].second,u = now;
        if(v == fa) continue;
        dfs(v,now,dis+w);
     }
     int u = now;
     d[u] = dis;
    if(dis > tmp2)
    {
        tmp2 = dis;
        tmp1 = u;
    }
}

小应用：树的中心

常规思路这是一个换根 dp 板子，但只能用换根 dp 做吗？

结论： 树的中心一定在树的直径上。

证明：树的直径是树上的最长路径。而我们要求一个点在树上它到另一个点的最远距离最近。也就是直径上趋于中点。如果不在直径上则会走的更远（得先走到直径上）

因此，我们求出树的直径，接着求每个点距离树的直径两个端点的距离，取min即可。

实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
typedef pair<int,int> PAIR;
const int N = 10010;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
vector <PAIR> Edge[N];
int d1[N],d2[N];
int res = INF;
int n;
int tmp1,tmp2;
int d[N];
void dfs(int now,int fa,int dis)
{
    for(int i=0;i<Edge[now].size();i++)
    {
        int v = Edge[now][i].first,w = Edge[now][i].second,u = now;
        if(v == fa) continue;
        dfs(v,now,dis+w);
     }
     int u = now;
     d[u] = dis;
    if(dis > tmp2)
    {
        tmp2 = dis;
        tmp1 = u;
    }
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int u,v,w;
        cin>>u>>v>>w;
        Edge[u].push_back(PAIR(v,w));
        Edge[v].push_back(PAIR(u,w));
    }
    dfs(1,0,0);
    int pos1 = tmp1;
    tmp2 = 0,tmp1 = 0;
    dfs(pos1,0,0);
    int pos2 = tmp1;
    tmp2 = 0,tmp1 = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++) d1[i] = d[i]; //距离第一个端点的距离，次长
    dfs(pos2,0,0);
    for(int i=1;i<=n;i++)d2[i] = d[i]; //距离第二个端点的距离，不用memset，也就是求最长
    int ans = 0x3f3f3f3f;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(ans > max(d1[i],d2[i])) ans = max(d1[i],d2[i]);
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}