[刷题笔记] Luogu P2014 [CTSC1997] 选课

Problem

Solution

我们发现本题中有好多主从关系，即要想取用一个儿子必须先取用她的父亲。构成了一个森林，处理不便。

有个小技巧，就是将0号节点参与建树，最后所求节点数就变成了\(m+1\)，且把森林变成了一棵树。

然后如何处理呢？

再次理解题意，我们发现，我们每次的决策是是否取用儿子，取用几个儿子......这不就是背包模型？对于每个父节点，先搜她的儿子，然后枚举重量(从\(m+1\)到1，和01背包同理，每个儿子只能选一次)，再枚举每个儿子内又取几个儿子......由于我们先前先搜的儿子，我们确保搜到这里儿子是已知的。

考虑设计状态，当前是哪个节点做决策是必须的，同时当前节点选多少课也是必须的。因为我们需要对选几个儿子进行决策，假设本轮决策选 \(k\) 个课时的最大价值，选 \(m\) 个儿子，则剩下的价值就是本节点选 \(k-m\) 个课时的最大价值。

形式化地，若令\(f_{now,j}\)表示以\(now\)为父节点选\(j\)个课时的最大价值。
则有：

\(f_{now,j} = max(f_{now,j},f_{Edge_{now,i},k}+f_{now,{j-k}})\)

Explanation：\(Edge_{now,i}\)表示节点\(now\)的第\(i\)个儿子，容易发现这里运用了vector建树。形象地就是取\(k\)个儿子和原来的决策取 max 。

回忆一下我们是如何思考的？

首先，我们正在一个节点上，对于每一个儿子可以选 or 不选。对于选则考虑选几个。典型的背包模型。至于依赖性在树上跑即可。

所以，本题就是一个树上背包。

Code

/*
树上dp，渗透了背包的思想。
小技巧：我们发现本题有好多树，构成森林，我们可以把0号节点也参与建树，这样就把森林变成了一棵树。
对于一个父节点，她可以选or不选以及选几个儿子学习，发现这可以当作背包，类似于背包从大到小枚举m也就是选的节点数（可以看作重量）
枚举完重量再枚举选儿子，状态转移方程和背包类似。
运用小技巧将森林变成树后记得m+1
*/

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
#define N 1010
using namespace std;
int n,m;
int f[N][N];
vector <int> Edge[N];
void dp(int now)
{
    for(int i=0;i<Edge[now].size();i++)
    {
        dp(Edge[now][i]);//先处理儿子
        for(int j=m;j>=1;j--)
        {
            for(int k=0;k<j;k++) 
            {
                f[now][j] = max(f[now][j],f[Edge[now][i]][k]+f[now][j-k]);//状态转移，取or不取or取几个儿子的儿子（儿子已经处理好）
            }
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int fa;
        scanf("%d%d",&fa,&f[i][1]); //以每个节点为父亲选一个肯定是其本身，直接输入即可
        Edge[fa].push_back(i);
    }
    m++;//更新m
    dp(0);
    cout<<f[0][m]<<endl;//注意到我们这里将0号节点参与建树，所以输出的时候需要注意
    return 0;
}