[算法学习笔记] [算法总结] dp背包模型

前言

dp背包模型属dp的一种，可以帮助我们快速的转移状态，解题。dp背包模型题的关键是判断这是哪种背包，属于什么类型的dp，只有判断出这是什么类型的背包，才能进一步朝这个方向思考。

01背包

01背包的常规形式是有\(n\)种物品，每间物品都有重量和价值两个参数。每件物品都可以选or不选，有一个限重为\(W\)的背包，求背包内价值最大。

从这个基本模型可以看出01背包一般是解决选或不选的问题，直接应用该模型的有 Luogu P2340 [USACO03FALL] Cow Exhibition G一题。本题种奶牛可以选or不选，有EQ和IQ两个参数，乍看可能无法转移，但是我们要尽可能朝01背包上思考。我们发现EQ+IQ=题目所求的价值。因此我们可以不存价值，dp数组中只存EQ和IQ（当然谁转移到谁无所谓）

当题目很复杂难以直接看出时，先简化题意，看出这是哪种背包模型，然后朝着这种背包模型上靠拢。如果一步难以直接推出优化后的转移方程，可以先列出复杂的状态，确保状态正确的前提下再考虑优化。（这一步非常重要，一定要在确保dp式正确的前提下考虑优化）

完全背包

完全背包一般是每种物品有无限个，求价值最大。

需要注意在所有背包普通模型中，只有完全背包是正着搜背包容量的，因为只有完全背包每种物品才可以无限选（这里将多重背包拆分成01背包解决），这里首先明确。

完全背包可以解决投资类问题，例如P1853投资的最大效益，初始手里有的钱可以当作背包容量，由于允许当天买当天卖，故我们每种债券都可以第一天买，第二天早上接着卖掉，第二天下午再买回来...由于这种特性我们认为每一天都是独立的，都要尽可能的使第二天早上钱更多。所以可以当作完全背包问题，只不过到了第二天下午背包容量需要变成第二天早上的价钱，背包容量动态改变，需要注意。

和P1853类似的还有纪念品一题，只不过一件物品每天的价格不一样，在列状态转移方程的时候不要搞混第一天和第二天上午的。

多重背包

多重背包和完全背包很类似，也是应用最多的。和完全背包相同的是每种物品可以有很多，不同的是每种物品有有限个，因此一般将其拆成01背包进行解决。

在拆分成01背包解决的时候，我们可以使用二进制拆分的方式拆分，简要来说就是利用了任何正整数都可以被分解为2的整次幂的性质。拆分成二的整次幂组，如果最后不能拆成完整的一组二的整次幂就直接作为一组即可。

混合背包

混合背包就是可以将01背包，完全背包，多重背包混合在一起，乍看可能无所下手，实际上只需要判断出这是什么背包分别套板子即可。

例题：樱花

分组背包

分组背包就是把背包分成了好几组，一般来说只需要每一组分开做01背包即可。

分组背包基本例题：Luogu P1757 通天之分组背包，需要注意枚举顺序，和普通的01背包不同的是本题每组之间互相矛盾，即每组内只能选一件物品。因此枚举顺序需要先枚举重量，再枚举每件物品。不能先枚举物品因为并不是每件物品都要选。

分组背包的变形很多，例如：BJOI2019 排兵布阵,本题乍看是一个分组背包，但是本题每组可以打多个城堡。我们注意到一个性质就是如果城堡编号\(i<j\)且城堡分别派兵数\(a_i<a_j\)，那么如果\(j\)城堡能被攻打，\(i\)城堡显然也一定。所以在统计答案的时候别忘了加上前面的。其余做01背包即可。需要注意枚举顺序，我们这样处理实际上还是每组只能选一个打，和P1757一样，只不过统计答案的时候加上了前面的。因此枚举顺序需要先枚举重量，再枚举物品。和普通的01背包不一样的是我们每组只能选一件物品。

背包和计数dp

很多时候计数dp可以借鉴背包的做法，例如给定一堆数，求这堆数能凑出几个数。我们可以没添加一个数，就从这个数往后搜到边界，因为这个数只能改变和比她大的数字，统计个数即可，这里就借鉴了背包的思想。

上述内容有一个典型例题：P1832，本题就是判断一个数是不是质数，如果是则更新比她大的数。
同理，砝码称重，应该属于多重背包，但是本质还是一个计数dp。

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遇到一个题，首先的判断出是一个dp，然后看看是不是可以用背包模型来解决？如果是判断是哪种背包模型，看看本题和所属的背包模型的状态转移方程有什么关系，注意不要光考虑背包，要与dp相结合。