[刷题笔记] [BJOI2019] 排兵布阵

Problem

Description

共有\(n\)种物品，每种物品都有\(t\)个，每种物品的重量是\(a_i\times 2+1\),价值为\(i\),现在你有一个重量为\(m\)的背包，请问你的价值最大是多少？

Solution

把题面翻译成这样，可以看出是一道分组背包问题。

显然若想占领一座城堡，这座城堡已经派了\(a\)人，则至少需要派\(a\times 2 +1\)人才能占领，因为题目中说严格大于，若多派人显然是无效的，浪费的。故可以把\(a \times 2+1\)作为城堡的“重量”

和分组背包不同的是，分组背包一组只需要选一个，而本题一组里可以攻打很多人，获得很多份价值。

那么如何处理呢？

不难发现若第一个人往一座城堡派\(i\)人，第二个人往同一座城堡里派\(j\)人，且\(i>j\)，若打下了\(i\)，则一定打下了\(j\)

因此，我们可以对每座城堡的每个人派兵力从小到大排序，显然若打下了\(i\)城堡则\(i\)以前的城堡一定都打下了，故取贡献的时候也要乘上已经枚举过的人数量。

关于枚举顺序：
虽然我们每次统计了多份答案，但是实际上还是每组内只选一个，只不过统计答案的时候统计上前面的罢了，因此和分组背包一样每组内的物品互相矛盾，每组内只能选择一件物品，所以要先枚举重量，也就是根据重量去选择物品。这样才能确保每组内只选一个物品。
（其实这里我在背包模型总结里也提到过）

由于输入的时候是按照第\(i\)个人攻打第\(j,j+1,j+2...n\)座城堡输入的，排序的时候需要反转一下，用sort就好。

还是一道非常巧妙的分组背包呢

Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 1010
#define M 200000
using namespace std;
int s,n,m;
int a[N][N];
int f[M];
int index = 0;
int maxn = -1;
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&s,&n,&m);
	for(int i=1;i<=s;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++) 
		{
			scanf("%d",&a[j][i]); //为处理方便，第一维存城堡
		}
	}
	for(int i=1;i<=s;i++) sort(a[i]+1,a[i]+s+1); //反转排序
	for(int i=1;i<=n;i++) //由于我们把每一种城堡看作一组，所以先枚举
	{
		for(int j=m;j>=0;j--) //倒着扫一遍重量
		{
			for(int k=1;k<=s;k++) //每一个人，即每一件物品
			{
				if(j >= 2*a[i][k]+1) //如果能打
				{
					f[j] = max(f[j],f[j-2*a[i][k]-1]  + k*i); //处理价值的时候记得乘上k，因为排好序后前面的人一定能打
				}
			}
		}
	}
	cout<<f[m]<<endl;
	return 0;
}