刷题笔记：Luogu P1314 聪明的质检员

前置知识$\sum$

$\sum$的基本用法这里不再讲解，只是提一下$\sum []$的特殊用法。

sigma遍历时，对于每个数据,如果满足则为1，否则计为0（计入总和）。因此$\sum\limits_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W]$指从$l_i$到$r_i$遍历满足$w_j \geq W$的个数。进一步地，如果需要计算满足条件的和，则$\sum\limits_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W]\times w_j$即可（因为如果不满足则$0\times w_j=0$，不会计入答案）

Solution

让结果最接近$s$值，显然我们要二分$w$,check的写法可以直接暴力模拟，如果check(mid)<s则将r右移（通过读公式可以知道$w$越小检验值$y$就越大）

但是这样会TLE，再读一下柿子：
$y_i=\sum\limits_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W] \times \sum\limits_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W]v_j$
显然可以前缀和优化，每次check前分别前缀和记录一下$sum1=\sum\limits_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W]$和$ sum2=\sum\limits_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W]v_j$。
这样check过程中可以直接求 $sum1,sum2$，$sum1\times sum2$就是检验值$y_i$，另设一个变量ans+=sum1*sum2即可

我们发现，每次前缀和只是修改相邻的数据，可以直接修改前缀和数组，无需差分。（当然也可以差分再前缀和）
通过这样的优化，对检验值$y_i$的计算我们每次check只需要计算一次（每次check $w$是唯一的，即$y_i$是唯一的）大大提高了效率

代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define N 1000000
#define ll long long
#define INF 0x3f3f3f3f3f
using namespace std;
ll n,m,s;
ll ans = INF;
ll l[N],r[N],w[N],v[N]; 
ll l_sum1[N],l_sum2[N];
void update(ll lll,ll rr,ll d,ll d1)
{
    l_sum1[lll] ++;
    l_sum1[rr+1] --;
    l_sum2[lll] += d;
    l_sum2[rr+1] -= d;
}
bool check(ll x)
{
    memset(l_sum1,0,sizeof(l_sum1));
    memset(l_sum2,0,sizeof(l_sum2));
    ll check_num = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(w[i] >= x) 
        {
            l_sum1[i] = l_sum1[i-1]+1;
            l_sum2[i] = l_sum2[i-1]+v[i];
        }
        else
        {
            l_sum1[i] = l_sum1[i-1];
            l_sum2[i] = l_sum2[i-1];
        }
    }
    for(ll i = 1;i <= m;i ++)
    {
        ll c1 = 0,c2 = 0;
        c1 = l_sum1[r[i]] - l_sum1[l[i]-1];
        c2 = l_sum2[r[i]] - l_sum2[l[i]-1];
        check_num += c1*c2;
    }
    if(abs(check_num-s) < ans) ans = abs(check_num-s);
    return check_num >= s;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&s);
    for(ll i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld%lld",&w[i],&v[i]);
    }
    for(ll i =1;i<=m;i++) scanf("%lld%lld",&l[i],&r[i]);
    ll l = INF,r = 0;
    for(ll i =1;i<=n;i++)
    {
        l = min(l,w[i]);
        r = max(r,w[i]);
    }
    while(l <= r)
    {
        ll mid = (l+r+1)/2;
        if(check(mid) ) l = mid+1;
        else r = mid -1;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}