背包问题

背包问题

1、0-1背包（f[v]表示容量为v的背包的最大价值）

题目：

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

特点：每个物品只可取一次

对于每种物品策略：取 ||  不取

l  f[i][v]=max(f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+v[i])

不放第i 件物品的价值：f[i-1][v],问题转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；

放入第i 件物品的价值：f[i-1][v-c[i]]+v[i], 问题转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”

主体代码：

for i=1..N //第几件物品

    for v=V..0 //装入前i件物品，背包容量为v时的最大价值

        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

初始化：

若要求恰好装满背包：将f[0]初始化为0，其余f[1…N]初始化为-∞，此时只有f[0]的初始值是有意义的，其余的背包都无意义

若不要求装满，值需要得到最大价值的背包：将f[0…N]都初始化为0

 

2、完全背包

题目描述：

有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

特点：物品可以重复取

对于每种物品策略：取0次、 取1次、2次…

l  f[i][v]=max(f[i-1][v-c[i]*k]+k*w[i],0<=k*c[i]<=V)

代码描述：

for i=1..N

    for v=0..V 

        f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}： 

 

3、多重背包

题目描述：

有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

特点：可重复取，但每种物品取的次数固定

解题策略：将每个物品可取的次数n[i]分成不同n份，放入背包，变成0-1背包问题。分组时，可以将每个n分为几个数，使0-n中的每个数都可以由这些数组合得到。（如：10可以由：1 2 4 3组合得到）

代码描述：

//n个物品，背包容量为m 

struct Good{  

 int c,w;  

};  

Vector<Good>good;  

for(int i=1;i<=n;i++){  

  cin>>c>>w;  

   for(k=1;k<=s;k=k*2){  

     s-=k;  

     push_back（c*k,w*k）;  

   }  

}  

for(auto good:goods)//对于goods中的每一个物体

  for(int j=m;j>=good.c;j++)

    f[j]=max(f[j],f[j-good.c]+good.w); 

 

4、混合背包问题

判断当前物品属于哪一类，分别用不同背包问题的解决方案

解题策略：顺序：0-1背包、多重背包、完全背包

 

5、二维费用背包问题

题目描述：

二维费用的背包问题是指：对于每件物品，具有两种不同的费用；选择这件物品必须同时付出这两种代价；对于每种代价都有一个可付出的最大值（背包容量）。问怎样选择物品可以得到最大的价值。设这两种代价分别为代价1和代价2，第i件物品所需的两种代价分别为a[i]和b[i]。两种代价可付出的最大值（两种背包容量）分别为V和U。物品的价值为w[i]。

特点：背包的限制增加一维

要点：状态增加一维，增加一维循环

f[i][v][u]=max{f[i-1][v][u],f[i-1][v-a[i]][u-b[i]]+w[i]}

 

6、分组背包问题

题目描述:

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。这些物品被划分为若干组，每组中的物品互相冲突，最多选一件。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

特点：与0-1背包问题类似

要点：是选择本组的某一件，还是一件都不选。也就是说设f[k][v]表示前k组物品花费费用v能取得的最大权值

状态转移方程：

f[k][v]=max{f[k-1][v],f[k-1][v-c[i]]+w[i]|物品i属于组k}

核心代码实现:

for 所有的组k

    for v=V..0

        for 所有的i属于组k

            f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

 

7、有依赖的背包问题

题目描述：

这种背包问题的物品间存在某种“依赖”的关系。也就是说，i依赖于j，表示若选物品i，则必须选物品j。为了简化起见，我们先设没有某个物品既依赖于别的物品，又被别的物品所依赖；另外，没有某件物品同时依赖多件物品。

解题策略：把每一个主件和它所有附件的集合当成一个背包问题，求出每一个主件选择的最优解，再把已经是最优搭配所有的选择构成一个背包问题，最初得出最后的最优解