Note -「数论 定理及结论整合」

数学素养 low，表达可能存在不严谨，见谅。我准备慢慢补上证明？

Theorems.

• 裴蜀定理：关于 $x, y$ 的线性方程 $ax + by = c$ 有解，当且仅当 $\gcd (a, b) | c$。

• 唯一分解定理：对于任意一个大于 $1$ 的整数 $n$，$n$ 可以唯一地被分解成若干个质数的幂的乘积。

• 欧拉定理：若 $\gcd (a, m) = 1$，则 $a ^{\varphi (m)} \equiv 1 \pmod m$。且可知 $a ^{n \bmod \varphi (m)} \equiv a^n \pmod m$。

  • 扩展：$a ^n \bmod m = \begin {cases} a ^n \bmod m &{n < \varphi (m)} \\ a ^{n \bmod \varphi (m) + \varphi (m)} \bmod m &{\mathrm{Otherwise.}} \end {cases}$

• 费马小定理：若 $p$ 为质数，则有 $a ^p \equiv a \pmod p$。

• 威尔逊定理：$(p - 1)! \equiv p \pmod p$，当且仅当 $p$ 为质数。

• 中国剩余定理：有 $n$ 个方程 $x \equiv a_i \pmod {p_i}$，构成关于 $x$ 的线性同余方程组，且 $p_i$ 间两两互质。

  记 $p = \prod \limits _{i = 1} ^{n} p_i, w_i = \frac {p} {p_i}$，且有 $\mathrm{Inv}(x, y)$ 表示 $x$ 在模 $y$ 意义下的逆元，则方程组的解为 $x \equiv \sum \limits _{i = 1} ^{n} a_i w_i \mathrm{Inv}(w_i, p_i) \pmod p$。

• 卢卡斯定理：$d\binom {n} {m} \equiv \dbinom {n \bmod p} {m \bmod p} \dbinom {\lfloor \frac {n} {p} \rfloor} {\lfloor \frac {n} {p} \rfloor} \pmod p$。

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Conclusions.

• $\gcd (a^n - 1, a^m - 1) = a ^{\gcd (n, m)} - 1$。

  • 扩展：$\gcd (a^n - b^n, a^m - b^m) = a ^{\gcd (n, m)} - b ^{\gcd (n, m)}$。其中 $\gcd (a, b) = 1$。

• $f_x$ 表示斐波那契数列的第 $x$ 项，则有 $\gcd (f(n), f(m)) = f(\gcd (n, m))$。

• 若有 $ac \equiv bc \pmod m$，则有 $a \equiv b \pmod {\frac {m} {\gcd (c, m)}}$。

• 若有 $a \equiv b \pmod m$，则有 $a \equiv b \pmod c$，其中 $c | m$。

• $\sum \limits _{i = 1} ^{n} \sum \limits _{j = 1} ^{n} [\gcd (i, j) = x] = \sum \limits _{i = 1} ^{\lfloor \frac {n} {x} \rfloor} \sum \limits _{j = 1} ^{\lfloor \frac {n} {x} \rfloor} [\gcd (i, j) = 1] = 2 \times \sum \limits _{i = 1} ^{\lfloor \frac {n} {x} \rfloor} \varphi (i) - 1$。

• $\sum \limits _{d | n} \varphi (d) = n$。

• 若 $d(x) = \sum \limits _{d | n} 1$，则 $d = 1 * 1$，其中（及以下所有）的 $*$ 代指狄利克雷卷积。

• 若 $\mathrm{Id}(x) = x$，则 $\mathrm{Id} = \varphi * 1$。

• 若 $I$ 为狄利克雷卷积单位元，则 $I = \mu * 1$。

• $\sum \limits _{i = 1} ^{n} \sum \limits _{j = 1} ^{m} [\gcd (i, j) = x] = \sum \limits _{d = 1} ^{\min (a, b)} \mu (d) \lfloor \frac {a} {d} \rfloor \lfloor \frac {b} {d} \rfloor$，其中 $a = \lfloor \frac {n} {x} \rfloor, b = \lfloor \frac {m} {x} \rfloor$。