浅谈 倍增/ST表

命题描述

给定一个长度为 \(n\) 的序列，\(m\) 次询问区间最大值

分析

上面的问题肯定可以暴力对吧。
但暴力肯定不是最优对吧，所以我们直接就不考虑了。。。

于是引入：倍增

首先，倍增是个什么东西？

在这里转一篇写的超棒的blog，点我。要是这都没看懂你就连小白兔都不如我就无语了。

总的来说，其实就是倒着运用二分的思想，从需求小的慢慢倍增把答案更新到需求大的

ST表就是一种常见的倍增思想的运用

关于ST表

ST表和树状数组，线段树这两种算法一样，是一种用于解决 \(RMQ（Range Minimum/Maximum Query）\)多次区间查询问题的离线算法

ST表的主要思想是构建一个二维数组 \(st[i][j]\)，这个二维数组表示需要查询的数组的从下标 \(i\) 到下标 \(i + 2^{j - 1}\) 的最值，这里以最大值为例。超像 \(dp\) 的说~

我们可以把 \([i, j]\) 拆成数量相等的两半，在求出这两部分的最大值即可，故：

st[i][j] = max(st[i][j - 1], st[i + (1 << (j - 1))][j - 1]；

再枚举一下 \(i, j\) 就可以了。点儿都不高级

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接下来，该怎么实现查询呢？

如果查询的区间长度刚好是 \(2^k（k为整数）\)，直接输出 \(st[l][log(r - l + 1) / log(2)]\) 即可；

如果不是，也很简单，我们还是将所给区间分为两部分。
首先规定在 \(st[i][j]\) 中 \(i = l\)，\(j = k\)，区间长度 \(len = r - l + 1\)。
会发现最大的\(k\) 应满足 \(2^k <= len\) (这样以 \(l\) 开头的ST表数据覆盖需要查询的区间中的数最多)

所以 \(k = (int) (log(len)/log(2))\)
显然查询时的区间 \([l,r]\) 分成的右边部分的左端点 \(x = r + 1 - 2^p\)

具体实现

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAXN = 100005;
int st[MAXN][41];

void read(int &a) { // 读优
	int k = 1;
	a = 0;
	char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {
		if(s == '-') k = -1;
		s = getchar();
	}
	while(s >= '0' && s <= '9') { 
		a = a * 10 + (s - '0');
		s = getchar();
	} 
	a *= k;
}

int main() {
	int n, m;
	read(n); read(m);
	for(int i = 1; i <= n; i++) read(st[i][0]);
	
	for(int j = 1; j <= (int)(log(n) / log(2)); j++)
		for(int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++)
			st[i][j] = max(st[i][j - 1], st[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
			
	for(int i = 1; i <= m; i++) {
		int l, r;
		read(l); read(r);
		int k = (int)(log(r - l + 1) / log(2));
                printf("%d\n", max(st[l][k], st[r - (1 << k) + 1][k]));
	}
	return 0;
}

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