图论基础

基本概念

1.图也是一种数据结构：是某类具体事物以及这些事物之间的联系。

2.图：顶点（vertex）和边（edge）组成。
顶点：具体事物。
边：具体事物之间的联系。

顶点的集合V，边的集合E，所以图记为G = (V,E)。

比如下图就是一个典型的图。。
在这里插入图片描述

图的分类

0.带权图

定义：边上带有权值的图。（不同问题中，权值意义不同，可以是距离、时间、价格、颜值 ……）

1.无向图

定义：边没有指定方向的图

相邻：两个顶点之间如果有边连接，那么就视为两个顶点相邻。
路径：相邻顶点的序列。
圈：起点和终点重合的路径。
连通图：任意两点之间都有路径连接的图。
度：顶点连接的边数叫做这个顶点的度。
树：没有圈的连通图。
森林：没有圈的非连通图

2.有向图

定义：边具有指定方向的图（有向图中的边又称为弧，起点称为弧头，终点称为弧尾

有向路径：相邻顶点的序列。
有向环：一条至少含有一条边且起点和终点相同的有向路径。
有向无环图（DAG）：没有环的有向图。

度：一个顶点的入度与出度之和称为该顶点的度。
1）入度：以顶点为弧尾的边的数目称为该顶点的出度
2）出度：以顶点为弧头的边的数目称为该顶点的入度

图的存储方式

1.邻接矩阵

E[u][v] 表示的是顶点u与顶点v的关系。

如果顶点u和顶点v之间有边相连，

E[u][v] = 1;

否则

E[u][v] = 0;

如果是有权边，

E[u][v] = cost;

对于无向图

E[u][v] = E[v][u];

优劣性:

优点：可以在常数时间内判断两点之间是否有边存在。
缺点：表示稀疏图时，浪费大量内存空间。

2.邻接表

通过把“从顶点0出发有到顶点2，3，5的边”这样的信息保存在vector中来表示图

邻接表非常的常用，所以我会在例题一解释它的具体用法。（当然所有的例题我都会使用邻接表进行存图

图的遍历方式

1.深度优先搜索(Depth-First Search)

遍历类似于树的先根遍历，是树的先根遍历的推广。

定义：假设初始状态是图中所有顶点未曾被访问，则深度优先搜索可从图中某个顶点v出发，访问此顶点，然后依次从v的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图，直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到；若此时图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未曾被访问的顶点作起始点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问到为止。

T1 有向图的 dfs

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAXN = 205;
vector<int> E[MAXN];
// 定义邻接表（edge）E
bool vis[MAXN];
// 记录是否访问过
void Addedge(int u, int v) {
// 存储边的信息
	E[u].push_back(v); // 表示以u为起点的边中有一条边的终点是v
}

void dfs(int i) {
    printf("%d ", i); 
    vis[i] = true;
    sort(E[i].begin(), E[i].end());
    // 因为要求字典序所以需要进行排序
    for (int j = 0; j < E[i].size(); j++) {
    // 枚举边
        if (vis[E[i][j]] == false) {
        	dfs(E[i][j]); // 继续进行dfs
		}
    }
}

int main() {
	int m, n;	
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
    	int u, v;
        scanf("%d %d", &u, &v);
        E[u].push_back(v);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) // 有可能不是连通图哦
    	if(vis[i] == false) // i没被访问过就dfs一次
    		dfs(i);
    return 0;
}

无向图同理。。。

广度优先搜索(Breadth-First Search)

遍历类似于树的按层次遍历的过程。

定义：假设从图中某顶点v出发，在访问v之后依次访问v的各个未被访问过的邻接点，然后分别从这些邻接点出发依次访问它们的邻接点，并使“先被访问的顶点的邻接点”先于“后被访问的顶点的邻接点”被访问，直至图中所有已被访问的顶点的邻接点都被访问到。若此时图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未曾被访问的顶点作起始点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问到为止。换句话说，广度优先搜索遍历图的过程是以v为起始点，由近至远，依次访问和v有路径相通且路径长度为1，2，…的顶点。

T2 有向图的 bfs

#include <cstdio>
#include <queue>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAXN = 5005;
vector<int> E[MAXN]; 
// 邻接表
bool vis[MAXN]; 
// 记录是否被访问过
void Addedge(int u, int v) {
	// 存图
	E[u].push_back(v);
}

void BFS(int st) {
	queue<int> q;
	q.push(st);
	// 初始节点进队
	vis[st] = true;
	printf("%d ", st);
	while(!q.empty()) { // 如果队列里还有节点
		int t = q.front();
		// 拿出第一个
		q.pop();
    	sort(E[t].begin(), E[t].end()); 
    	// 因为要求字典序所以需要进行排序
		for(int i = 0; i < E[t].size(); i++) {
		// 枚举边
			if(vis[E[t][i]] == false) {
				vis[E[t][i]] = true;
				printf("%d ", E[t][i]);
				q.push(E[t][i]);
				// 终点进队
			}
		}
	}
}

int main() {
	int n, m;
	scanf ("%d %d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= m; i++) {
		int u, v;
		scanf ("%d %d", &u, &v);
		Addedge(u, v);
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++) // 有可能不是连通图哦
		if(vis[i] == false) // i没被访问过就dfs一次
			BFS(i);
	return 0;
}