浅谈 并查集

作者：曾经呢，我还是个蒟蒻现在也是，一不小心翻到了这个好像很高级的东西。于是，就学了。。。

并查集

首先，谁能告诉我这是个啥？？
语文老师说，有个古文里的词不会的时候，可以尝试拆开组词。我们类比一下这个方法，并查集其实就是可以完成合并，查找操作的集合嘛。
Emmmm……没懂？好叭，我去问问度娘。。。我是原文

基本概念：

并查集（set），在一些有N个元素的集合应用问题中，我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并，其间要反复查找一个元素在哪个集合中。这一类问题近几年来反复出现在信息学的国际国内赛题中，其特点是看似并不复杂，但数据量极大，若用正常的数据结构来描述的话，往往在空间上过大，计算机无法承受；即使在空间上勉强通过，运行的时间复杂度也极高，根本就不可能在比赛规定的运行时间（1～3秒）内计算出试题需要的结果，只能用并查集来描述。

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好像有点懂了，蒟蒻又抛出了另一个问题，它有什么用呢？？

• 刚刚都说了嘛，它可以很方便的合并两个不相交的区间，并快速的查找两个点是否在同一个集合中。

并查集思想及实现

我先附一个我级其喜欢的博客，它让我对并查集有了一个很棒的认识

都看金庸老先生的武侠叭，每个大侠要么自立门派，要么都会有一个掌门。并且尊崇“掌门的掌门就是掌门什么玩意儿”这一理论。那么我们其实就可以把并查集看作一个模拟的江湖，刚一开始张无忌，郭靖，令狐冲，段誉几人闯荡江湖，每个人都自立门户（及他们的掌门就是自己）。而有一天，郭靖突然打败了张无忌，就这样郭靖成为了张无忌派的掌门。而另一边令狐冲推举段誉做了老大。华山论剑之后，段誉派完胜郭靖派，于是郭靖派的掌门也变成了段誉。。。就这样，江湖大统一，但这和并查集有什么关系呢？？

我们按照OIER的思路将上面这个故事分离出来，刚开始有N个结点，（可以看作树形数据结构），它们的父亲结点都指向自己。

void Make_Set(int n) {    
	for(int i = 1; i <= n; i++)         
		fa[i] = i;    
	return ;
}

当两个结点所在集合要合并的时候，我们只需要找到这一个结点的父亲结点，然后将其这一个的父亲结点指向另一个的父亲结点，就可以完成合并了。
但是呢，我们还面临着一个问题，有些时候，一个父亲结点不仅仅有子结点，可能还有“孙结点”。我们为了方便，在这里将辈分最大的叫做根。而以上的合并方法，即可改为找到一个结点的根，然后将这个根的父亲指向另一个结点的根，是不是很神奇？？

思路大概就是这样，后面两个操作也不算很难。。。
查找根，可以很容易用递归写出来

int Find_Set(int s) {
	if(fa[s] != s) return fa[s] = Find_Set(fa[s]);
	else return fa[s];
}

合并嘛，按照思路模拟即可

void Union_Set(int s, int e) { 
	int u = Find_Set(s);
	int v = Find_Set(e);
	if(u != v) fa[v] = u;
	return ;
}

看了某大佬给的评论，我在这里拓展一种合并方法
并查集其实就是一种树型结构，而树有它的深度，利用这种特性就有了：
按秩合并（启发式合并）。

如果我们把一棵深度大的树的根节点接在了一棵高度小的树上，那么整棵树的深度为那一棵深度大的树的深度+1，如果我们把一棵深度小的树的根节点接在了一棵深度大的树上，则整棵树的深度为深度小的树的深度+1和深度大的树的深度的最大值。这就是启发式合并的原理。实现起来也不算难，我们只需要在维护父亲结点的同时，维护一个深度 rank，再让 rank 高的在上，就像是维护了一棵树。当然这种方法还需要在初始化的时候，将每一个结点的高度置为0（在Make_Set中进行操作）

void Union_Set(int s, int e) { 
	int u = Find_Set(s);
	int v = Find_Set(e);
	if(u == v) return ;
	if(rank[u] > rank[v]) fa[v] = u;
	else if(rank[u] < rank[v]) fa[u] = v;
	else {
        fa[v] = u;
        if(rank[u] == rank[v]) rank[u]++;
    }
}

关于并查集就先到这里，希望大佬们可以提点建议，接下来我们来做一道板题

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题目详解

A.亲戚

题目描述

或许你并不知道，你的某个朋友是你的亲戚。他可能是你的曾祖父的外公的女婿的外甥女的表姐的孙子。如果能得到完整的家谱，判断两个人是否是亲戚应该是可行的，但如果两个人的最近公共祖先与他们相隔好几代，使得家谱十分庞大，那么检验亲戚关系实非人力所能及。在这种情况下，最好的帮手就是计算机。为了将问题简化，你将得到一些亲戚关系的信息，如Marry和Tom是亲戚，Tom和Ben是亲戚，等等。从这些信息中，你可以推出Marry和Ben是亲戚。请写一个程序，对于我们的关于亲戚关系的提问，以最快的速度给出答案。

• 输入格式输入由两部分组成。第一部分以N，M开始。N为问题涉及的人的个数(1≤N≤20000)。这些人的编号为1,2,3,…, N。下面有M行(1≤M≤1000000)，每行有两个数ai,bi，表示已知ai和bi是亲戚。第二部分以Q开始。以下Q行有Q个询问(1≤ Q ≤1000000)，每行为ci,di，表示询问ci和di是否为亲戚。
• 输出格式对于每个询问ci,di，输出一行：若ci和di为亲戚，则输出“Yes”，否则输出“No”。

样例输入：

10 7    
2 4    
5 7    
1 3   
8 9    
1 2    
5 6    
2 3    
3    
3 4    
7 10    
8 9

样例输出：

Yes    
No    
Yes

分析：

都说了是板子题嘛，当每次输入了两个人的时候，就把他俩利用Union_Set进行合并

#include <bits/stdc++.h>  
using namespace std;
const int MAXN = 20005;
int fa[MAXN];
void Make_Set(int n) { // 初始化 
	for(int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i; // 把父亲指向自己 
}
int Find_Set(int s) { // 查找根节点 
	if(fa[s] != s) return fa[s] = Find_Set(fa[s]);
	else return fa[s];
}
void Union_Set(int x, int y) { // 合并 
	int u = Find_Set(x);
	int v = Find_Set(y);
	if(u != v) fa[v] = u; // 如果不在一个集合中则合并 
	return ;
}
int main() {
	int n, m, x, y, p;
	scanf ("%d %d", &n, &m);
	Make_Set(n);
	for(int i = 1; i <= m; i++) {
		scanf ("%d %d", &x, &y);
		Union_Set (x, y); // 合并操作 
	}
	scanf("%d", &p);
	for(int i = 1; i <= p; i++) {
		scanf ("%d %d", &x, &y);  
		if(Find_Set(x) == Find_Set(y)) printf("Yes\n"); // 查询 
		else printf("No\n"); 
	}
	return 0;
}