C语言中的位运算

C语言中的位运算：

位运算，即对数据的二进制形式按位进行运算操作，c++中有多种位运算操作：

由于位运算是直接对内存中二进制数据进行操作，不需要进行转化，因此效率很高，速度比+-*/等算数运算更快

C语言中 位运算速度 > +-速度 > */速度 > %速度

合理利用位运算操作可以一定程度上提高程序运行速度，从而避免TLE

壹.左移/右移：

<<  二进制左移(SHL)运算符:

将一个运算对象的各二进制位全部左移若干位，右边补0，超出对应类型范围时左边的位自动丢弃。

例：

	printf("%d", 3 << 2);//结果为12

(3)₁₀ = (11)₂

*(3)₁₀表示十进制数3，(11)₂表示二进制数11

 向左移动两位后，右边补0，得到 (1100)₂ =  (1*2³+1*2²+0*2¹+0*2⁰)₁₀ = 12

不难看出： (1100)₂ = 十进制下  2²*(1*2¹+1*2⁰) = 2²*(3)

以此类推： 3<<k  = 2^k * 3 ;

同理：n<<k = n* 2^k

因此：我们可以借助 1<<k便捷的计算2的k次方

#由于位运算操做是直接针对内存中的二进制编码进行简单操做，所以位运算的运算效率要高于加减（+ -）操作，更快于乘除（*  /）操作，

  1<<k,远远快于需要进行k此操作的函数： pow(2,k)； 可以减少计算耗时。

  在程序时间限制极为紧张时，也可以考虑把一些乘法操作改写成加法操作与左移操作的组合，从而提高计算效率

  如： x*10 = x<<3+x<<1;

 

>>  二进制右移(SHR)运算符:

二进制右移运算符。将一个数的各二进制位全部右移若干位，正数左补0，负数左补1，右边丢弃。

例：

	printf("%d", 5 >> 1);//结果为2

	printf("%d", -5 >> 1);//结果为-3

(5)₁₀ = (00000101)₂

向右移动并舍弃一位，左边补0得 (00000010)₂ = (2)₁₀

(-5)10 在计算机中以二进制补码的形式表示为：(11111011)

整体向右移一位，左边补1得：(11111101) = (-3)₁₀

类比左移运算不难看出： n>>k 相当于 n/2^k 向下取整    (注意：对负数向下取整相当于对其绝对值向上取整)

（不建议对负数进行位运算操作）

贰.按位 与 或 取反 异或 运算：

&  按位与(AND)运算符:

按位与操作，按二进制位进行"与"运算，每一位的运算规则于逻辑 “与” && 类似,只有在参与运算两数同时为1时结果为1

即：1与1=1，1与0=0，0与1=0，0与0=0

( 二者位数不一致时向右对齐，较小数左端补0，如: 010 & 111 = 010 )

例：

	printf("%d", 7 & 5);//结果为5

(7)₁₀=(111)₂      (5)₁₀=(101)₂

第一位1&1=1，第二位1&0=0,第三位1&1=1

(111)₂    &    (101)₂    =     (101)₂  =  (5)₁₀

 

#与运算遵循 交换律，结合律，对或运算的分配律

即 a&b = b&a   a&(b&c) = (a&b)&c    a&(b|c) = (a&b)|(a&c)

#不难看出，一切正数奇数的二进制最低位一定是1，偶数最低位一定是0

  所以可以通过n&1判断n的奇偶性,结果为1则为奇，为0则为偶

  因为位运算比取余运算更高效，所以该表达式比n%2耗时更少

#利用&将数的二进制最低非0位变为0

	int a = 6;
	printf("%d\n", a & a - 1);

6=(110)₂  6-1=(101)₂  6&5 =(100)₂=4

#利用&求数a的二进制中有多少个一 时间复杂度O(k) k为a中1的数量

	int a = 6, k = 0;
	while (a)
	{
		a = a & a - 1;
		k++;
	}
	printf("%d\n", k);

每次循环都会将a的最低为1位改为0，并且k++，当所有位全为0时循环结束，可算出a的二进制表示中有多少个1

|  按位或(OR)运算符:

按位或运算符，按二进制位进行"或"运算，每一位的运算规则于逻辑 “或” || 类似,只有在参与运算两数同时为0时结果为0

即：0或0=0，1或0=1，0或1=1，1或1=1

( 二者位数不一致时向右对齐，较小数左端补0，如: 010 | 111 = 111 )

例：

	printf("%d", 6 | 9);//结果为15

(6)₁₀=(110)₂=(0110)₂    (9)₁₀=(1001)₂

第一位1|0=1,第二位0|1=1,第三位1|0=1,第四位0|1=1

(110)₂ | (1001)₂ = (1111)₂ = (15)₁₀

#或运算遵循 交换律，结合律，对与运算的分配律

即 a|b = b|a   a|(b|c) = (a|b)|c    a|(b&c) = (a|b)&(a|c)

~  按位取反(NOT)运算符:

将二进制位取反，0变为1，1变为0 (对于原码补码的符号位同样生效)

	printf("%d", ~3);//结果为-4

(3)₁₀ = (00000011)₂ 按位取反得到 11111100 是二进制补码形式 转化为十进制得 -4

# ~x+1 = -1*x （利用补码的性质）

^  按位异或(XOR)运算符:

异或运算符，按二进制位进行"异或"运算。运算规则：当参与运算两数相同时结果为0，不相同时结果为1

即：0^0 = 0 , 1^1 = 0, 0^1 = 1, 1^0 = 1.

( 二者位数不一致时向右对齐，较小数左端补0，如: 010 ^ 111 = 101 )

例：

	printf("%d", 2 ^ 3);//结果为1

(2)₁₀=(10)₂ , (3)₁₀=(11)₂

第一位1^1=0，第二位1^0=1

(10)₂ ^ (11)₂ = (01)₂ = (1)₁₀

#异或遵循：

1、交换律: a^b=b^a

2、结合律: (a^b)^c = a^(b^c)

3、对于任何数x，都有x^x=0，x^0=x

4、自反性 a^b^b = a^0=a

#利用异或交换两数（高效率）

  a ^= b;
  b ^= a;
  a ^= b;

第一步：a ^= b ---> a = (a^b)

第二步：b ^= a ---> b = b^(a^b) ---> b = (b^b)^a = a

第三步：a ^= b ---> a = (a^b)^a = (a^a)^b = b

叁.位运算赋值运算符：

类似于 +=，-=操做，可以将位运算符于等号组合，形成计算并赋值的位运算赋值运算符

<<=	左移且赋值运算符	C <<= n 等同于 C = C << n
>>=	右移且赋值运算符	C >>= n 等同于 C = C >> n
&=	按位与且赋值运算符	C &= n 等同于 C = C & n
^=	按位异或且赋值运算符	C ^= n 等同于 C = C ^ n
|=	按位或且赋值运算符	C |= n 等同于 C = C | n

肆.运算符优先级：

1.括号	()
2.按位取反	~
3.乘除取余	*  /  %
4.加减	+ -
5.左右移	<< >>
6.关系运算	< <= > >=
7.相等	==  !=
8.按位与	&
9.按位异或	^
10.按位或	|
11.逻辑与	&&
12.逻辑或	||
13.三目运算符	?:
14.赋值	= += -= *= /= %=>>= <<= &= ^= |=

#可以发现除了~以外，其他位运算符的运算优先级均较低，大致上优先级 算数运算 > 位运算 > 逻辑运算

  因此当出现位运算和算数运算(+-*/)相混合的表达式时，应当多加括号以避免运算顺序错误

#不建议背诵此表，只需有大致印象即可，当不确定优先级时，可以通过多加括号解决

#   & ^ | 优先级低于<<,因此在c++中可能出现如下错误

	cout << 1 ^ 2 << endl;//编译错误

因为 ^ 优先级低于<< ，所以编译器会尝试先执行输出操作，后进行运算，显然计算机是无法执行的，所以编译时编译器会报错，加上括号即可

	cout << (1 ^ 2) << endl;