BZOJ 1770 [Usaco2009 Nov]lights 燈 【高斯消元】
Description
貝希和她的閨密們在她們的牛棚中玩遊戲。但是天不從人願，突然，牛棚的電源跳閘了，所有的燈都被關閉了。貝希是一個很膽小的女生，在伸手不見拇指的無盡的黑暗中，她感到驚恐，痛苦與絕望。她希望您能夠幫幫她，把所有的燈都給重新開起來！她才能繼續快樂地跟她的閨密們繼續玩遊戲！ 牛棚中一共有N（1 <= N <= 35）盞燈，編號為1到N。這些燈被置於一個非常複雜的網絡之中。有M（1 <= M <= 595）條很神奇的無向邊，每條邊連接兩盞燈。 每盞燈上面都帶有一個開關。當按下某一盞燈的開關的時候，這盞燈本身，還有所有有邊連向這盞燈的燈的狀態都會被改變。狀態改變指的是：當一盞燈是開著的時候，這盞燈被關掉；當一盞燈是關著的時候，這盞燈被打開。 問最少要按下多少個開關，才能把所有的燈都給重新打開。 數據保證至少有一種按開關的方案，使得所有的燈都被重新打開。
Solution
题意：有 n 个操作，每个操作可以改变一些灯的状态，问打开所有的灯需要的的最小操作数，开始时灯都是灭的
显然同一个操作进行两个是没有意义的
只可能选或不选，灯的状态也只有两种，开或灭，显然是解一个异或方程
可以由题意列出一个关系表
aij 表示 i j 是否可以互相改变状态然后有异或方程
a11*x1 XOR a12*x2 XOR ... XOR a1n*xn = 1
a21*x1 XOR a22*x2 XOR ... XOR a2n*xn = 1
……………………………………………………
am1*x1 XOR am2*x2 XOR ... XOR amn*xn = 1
用高斯消元解一下就可以的到解
然而题目要求的是最小解
什么时候解会不唯一呢？
如果有一个项 xi ，最后解出的方程是 0*xi = 0
即当第 i 个及以后的方程中xi系数均为0，就称xi自由元（xi不管是取0还是1，都能导出整个方程组的一个解）
在矩阵中就体现为 f[ i ][ i ]=0
此时 xi 取 0 或 1 都可能改变其他的 xj 的取值
使ans=∑xi 的值发生变化
这个时候枚举一下 xi 的取值，更新答案
使用高斯约当消元后，化成倒三角；
然而本题并没有保证唯一解，会有很多多出来的自由元；
从n开始找到可能的更优解：若为自由元，枚举当前的取值ans[k]，否则通过计算得到当前的ans：
a[k][1]*ans[1] XOR a[k][2]*ans[2] XOR ... XOR a[k][n]*ans[n] = a[k][n+1]
由于消元过程中保证了前面全为0，得
ans[k]=a[k][n+1] ^ (a[k][k+1]*ans[k+1]) ^ (a[k][k+2]*ans[k+2]) ^ …… ^(a[k][n]*ans[n])
最后ans的1的个数就是开灯的数量啦.
1 #include<bits/stdc++.h>
2
3 #define maxn 35+5
4 #define set(a,b) memset(a,(b),sizeof(a))
5 #define fr(i,a,b) for(ll i=(a),_end_=(b);i<=_end_;i++)
6 #define rf(i,b,a) for(ll i=(a),_end_=(b);i>=_end_;i--)
7
8 using namespace std;
9
10 typedef long long ll;
11
12 int f[maxn][maxn];
13 int ans[maxn],res=INT_MAX;
14 int n,m;
15
16 void gauss()
17 {
18 fr(i,1,n){
19 int j=i;
20 while( j<=n && !f[j][i] ) j++;
21 if( j>n ) continue;
22 if( i!=j )
23 fr(p,1,n+1)
24 swap(f[i][p],f[j][p]);
25 fr(j,1,n)
26 if( i!=j && f[j][i] )
27 fr(p,1,n+1)
28 f[j][p]^=f[i][p];
29 }
30 }
31
32 void dfs(int x,int cost)
33 {
34 if( cost>=res ) return ;
35 if( !x ){
36 res=cost;
37 return ;
38 }
39 if( f[x][x] ){
40 int t=f[x][n+1];
41 fr(i,x+1,n)
42 if( f[x][i] ) t^=ans[i];
43 ans[x]=t;
44 dfs(x-1,cost+t);
45 }
46 else{
47 ans[x]=0;
48 dfs(x-1,cost);
49 ans[x]=1;
50 dfs(x-1,cost+1);
51 }
52 }
53
54 int main()
55 {
56 #ifndef ONLINE_JUDGE
57 freopen("1770.in","r",stdin);
58 freopen("1770.out","w",stdout);
59 #endif
60 cin >> n >> m ;
61 fr(i,1,n)
62 f[i][i]=f[i][n+1]=1;
63 fr(i,1,m){
64 int x,y;
65 cin >> x >> y ;
66 f[x][y]=f[y][x]=1;
67 }
68 gauss();
69 dfs(n,0);
70 cout << res ;
71 return 0;
72 }
