BZOJ 2154 Crash的数字表格 【莫比乌斯反演】

Description

今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple)。对于两个正整数a和b，LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数。例如，LCM(6, 8) = 24。回到家后，Crash还在想着课上学的东西，为了研究最小公倍数，他画了一张N*M的表格。每个格子里写了一个数字，其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j)。一个4*5的表格如下： 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4 12 4 20 看着这个表格，Crash想到了很多可以思考的问题。不过他最想解决的问题却是一个十分简单的问题：这个表格中所有数的和是多少。当N和M很大时，Crash就束手无策了，因此他找到了聪明的你用程序帮他解决这个问题。由于最终结果可能会很大，Crash只想知道表格里所有数的和mod 20101009的值。

HINT

N, M ≤ 107。

Solution

依旧暴力写开

依旧枚举gcd

再令

 

 

继续暴力写出F

 

再令

于是得到

愉快地推完了//跪PoPoQQQ神推

  1 #include<map>
  2 #include<cmath>
  3 #include<ctime>
  4 #include<queue>
  5 #include<stack>
  6 #include<cstdio>
  7 #include<climits>
  8 #include<iomanip>
  9 #include<cstring>
 10 #include<cstdlib>
 11 #include<iostream>
 12 #include<algorithm>
 13  
 14 #define maxp 10000000
 15 #define maxn 10000000+5
 16 #define mod 20101009
 17 #define set(a,b) memset(a,(b),sizeof(a))
 18 #define fr(i,a,b) for(ll i=(a),_end_=(b);i<=_end_;i++)
 19 #define rf(i,b,a) for(ll i=(a),_end_=(b);i>=_end_;i--)
 20 #define fe(i,a,b) for(int i=first[(b)],_end_=(a);i!=_end_;i=s[i].next)
 21 #define fec(i,a,b) for(int &i=cur[(b)],_end_=(a);i!=_end_;i=s[i].next)
 22  
 23 using namespace std;
 24  
 25 typedef long long ll;
 26  
 27 ll f[maxn];
 28 int prime[maxn],pri[maxn],miu[maxn],tot=0;
 29 ll ans;
 30 int n,m;
 31  
 32 void read()
 33 {
 34 #ifndef ONLINE_JUDGE
 35   freopen("2154.in","r",stdin);
 36   freopen("2154.out","w",stdout);
 37 #endif
 38   cin >> n >> m ;
 39 }
 40  
 41 void write()
 42 {
 43   cout << (ans+mod)%mod ;
 44 }
 45  
 46 void get()
 47 {
 48   miu[1]=1;
 49   fr(i,2,min(n,m)){
 50     if( !prime[i] ) pri[++tot]=i,miu[i]=-1;
 51     int j=1;
 52     while( j<=tot && pri[j]*i<=min(n,m) ){
 53       prime[ pri[j]*i ]=1;
 54       if( i%pri[j]==0 ){
 55     miu[pri[j]*i]=0;
 56     break;
 57       }
 58       miu[pri[j]*i]=-miu[i];
 59       j++;
 60     }
 61   }
 62   fr(i,1,min(n,m))
 63     f[i]=(f[i-1]+i*i*miu[i]%mod)%mod;
 64 }
 65  
 66 ll Sum(ll x,ll y)
 67 {
 68   return ((x+1)*x/2%mod)*((y+1)*y/2%mod)%mod;
 69 }
 70  
 71 ll F(ll x,ll y)
 72 {
 73   ll res=0,i=1,pos;
 74   while( i<=x ){
 75     pos=min(x/(x/i),y/(y/i));
 76     res=(res+(f[pos]-f[i-1])*Sum(x/i,y/i)%mod)%mod;
 77     i=pos+1;
 78   }
 79   return res;
 80 }
 81  
 82 ll calc(ll x,ll y)
 83 {
 84   if( x>y ) swap(x,y);
 85   ll res=0,i=1,pos;
 86   while( i<=x ){
 87     pos=min(x/(x/i),y/(y/i));
 88     res=(res+(pos-i+1)*(pos+i)/2%mod*F(x/i,y/i)%mod)%mod;
 89     i=pos+1;
 90   }
 91   return res;
 92 }
 93  
 94 void work()
 95 {
 96   get();
 97   ans=calc(n,m);
 98 }
 99  
100 int main()
101 {
102   read();
103   work();
104   write();
105   return 0;
106 }

 

posted @ 2015-07-01 23:34  ST_Saint  阅读(295)  评论(0)  编辑  收藏  举报