BZOJ 2440 [中山市选2011]完全平方数 【莫比乌斯反演】

Description

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些
数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而
这丝毫不影响他对其他数的热爱。 
这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一
个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了
小X。小X很开心地收下了。 
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

Hint

对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9，T ≤ 50

Solution

题意：求x，使得∑ | μ[i] | ==k ( 1<= i <=n )

首先，根据 μ 函数的定义，对于一个自然数 i 的所有质因子中存在因子的指数大于2，μ [ i ]=0

转化一下条件的描述，若 i 中含有完全平方的因子，μ[ i ]=0

我们定义 F( x ) 为小于等于 x 的 μ[ i ] ! = 0 的 i 的个数

可以考虑一下从 x 中减去 μ[ i ] ==0 的 i 的个数

我们枚举一下因子 i，小于等于 x 的数中含 i 平方的数的个数显然 x/i^2

根据容斥，前面乘个系数 μ[ i ]

然后求个和，二分一下答案，复杂度大约是 O(n) 的预处理 + O( √n * log n )的单次访问

 1 #include<map>
 2 #include<cmath>
 3 #include<ctime>
 4 #include<queue>
 5 #include<stack>
 6 #include<cstdio>
 7 #include<climits>
 8 #include<iomanip>
 9 #include<cstring>
10 #include<cstdlib>
11 #include<iostream>
12 #include<algorithm>
13 
14 #define maxp 50000
15 #define set(a,b) memset(a,(b),sizeof(a))
16 #define fr(i,a,b) for(ll i=(a),_end_=(b);i<=_end_;i++)
17 #define rf(i,b,a) for(ll i=(a),_end_=(b);i>=_end_;i--)
18 #define fe(i,a,b) for(int i=first[(b)],_end_=(a);i!=_end_;i=s[i].next)
19 #define fec(i,a,b) for(int &i=cur[(b)],_end_=(a);i!=_end_;i=s[i].next)
20 
21 using namespace std;
22 
23 typedef long long ll;
24 
25 const ll up=2e9;
26 
27 
28 ll prime[maxp],pri[maxp],miu[maxp],tot=0;
29 ll ans,k;
30 int T;
31 
32 void read()
33 {
34 #ifndef ONLINE_JUDGE
35   freopen("2440.in","r",stdin);
36   freopen("2440.out","w",stdout);
37 #endif
38   cin >> T ;
39 }
40 
41 void write()
42 {}
43 
44 void print()
45 {
46   cout << ans << endl ;
47 }
48 
49 void get()
50 {
51   miu[1]=1;
52   fr(i,2,maxp){
53     if( !prime[i] ) pri[++tot]=i,miu[i]=-1;
54     int j=1;
55     while( j<=tot && pri[j]*i<=maxp ){
56       prime[pri[j]*i]=1;
57       if( i%pri[j]==0 ){
58     miu[pri[i]*j]=0;
59     break;
60       }
61       miu[i*pri[j]]=-miu[i];
62       j++;
63     }
64   }
65 }
66 
67 ll calc(ll x)
68 {
69   ll res=0;
70   fr(i,1,sqrt(x))
71     res+=(x/(i*i))*miu[i];
72   return res;
73 }
74 
75 void work()
76 {
77   get();
78   while( T-- ){
79     cin >> k ;
80     ll l=1,r=up,mid;
81     while( l<=r ){
82       mid=(l+r)>>1;
83       if( calc(mid)>=k ) ans=mid,r=mid-1;
84       else l=mid+1;
85     }
86     print();
87   }
88 }
89 
90 int main()
91 {
92   read();
93   work();
94   write();
95   return 0;
96 }

 

posted @ 2015-07-01 18:04  ST_Saint  阅读(199)  评论(0)  编辑  收藏  举报