三种背包的模板

01：http://www.ahathinking.com/archives/95.html

0-1背包

2012年4月30日Yx.Ac发表评论阅读评论
 
文章作者：Yx.Ac   文章来源：勇幸|Thinking (http://www.ahathinking.com)   转载请注明，谢谢合作。

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四月份还没写，不能这么荒废了呀，赶紧水一篇吧，哈哈。前些日子回顾了DP的一些基础，就做一下整理吧，从0-1背包开始。

本节回顾0-1背包的基本模型，关于它的实现有很多种写法，这里对不同实现做个简单列举，主要是写代码练手了，主要有以下几方面内容：

==0-1背包问题定义 & 基本实现

==0-1背包使用滚动数组压缩空间

==0-1背包使用一维数组

==0-1背包恰好背满

==0-1背包输出最优方案

========================================

0-1背包问题定义 & 基本实现

问题：有个容量为V大小的背包，有很多不同重量weight[i](i=1..n)不同价值value[i](i=1..n)的物品，每种物品只有一个，想计算一下最多能放多少价值的货物。

DP的关键也是难点是找到最优子结构和重叠子问题，进而找到状态转移方程，编码就相对容易些。最优子结构保证每个状态是最优的，重叠子问题也即n状态的求法和n-1状态的求法是一样的；DP在实现上一般是根据状态转移方程自底向上的迭代求得最优解（也可以使用递归自顶向下求解）。

回到0-1背包，每个物体i，对应着两种状态：放入&不放入背包。背包的最优解是在面对每个物体时选择能够最大化背包价值的状态。0-1背包的状态转移方程为

1
f(i,v) = max{ f(i-1,v), f(i-1,v-c[i])+w[i] }

 

f(i,v)表示前i个物体面对容量为v时背包的最大价值，c[i]代表物体i的cost(即重量)，w[i]代表物体i的价值；如果第i个物体不放入背包，则背包的最大价值等于前i-1个物体面对容量v的最大价值；如果第i个物体选择放入，则背包的最大价值等于前i-1个物体面对容量v-cost[i]的最大价值加上物体i的价值w[i]。

对于实现，一般采用一个二维数组（状态转移矩阵）dp[i][j]来记录各个子问题的最优状态，其中dp[i][j]表示前i个物体面对容量j背包的最大价值。

下面给出0-1背包的基本实现，时间复杂度为O(N*V)，空间复杂度也为O(N*V)，初始化的合法状态很重要，对于第一个物体即f[0][j]，如果容量j小于第一个物体（编号为0）的重量，则背包的最大价值为0，如果容量j大于第一个物体的重量，则背包最大价值便为该物体的价值。为了能单步验证每个状态的最优解，程序最后将状态转移矩阵的有效部分输出到了文件。

代码如下：

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#include <iostream>
using namespace std;
 
/* 0-1背包 版本1
 * Time Complexity  O(N*V)
 * Space Complexity O(N*V)
 * 设 V <= 200 N <= 10
 * 状态转移方程：f(i,v) = max{ f(i-1,v), f(i-1,v-c[i])+w[i] }
 */
 
int maxValue[11][201]; /* 前i个物体面对容量j的最大价值，即子问题最优解 */
int weight[11];
int value[11];
int V, N;
 
void main()
{
    int i, j;
    scanf("%d %d",&V, &N);
    for(i = 0; i < N; ++i)
    {
        scanf("%d %d",&weight[i],&value[i]);
    }
    for(i = 0; i < N; ++i)
    {
        for(j = 0; j <= V; ++j) /* 容量为V 等号 */
        {
            if(i > 0)
            {
                maxValue[i][j] = maxValue[i-1][j];
                if(j >= weight[i]) /* 等号 */
                {
                    int tmp = maxValue[i-1][j-weight[i]] + value[i];
                    maxValue[i][j] = ( tmp > maxValue[i][j]) ? tmp : maxValue[i][j];
                }
            }else   /* 数组第0行赋值 */
            {
                if(j >= weight[0])
                    maxValue[0][j] = value[0];
            }
        }
    }
 
    printf("%d",maxValue[N-1][V]);
 
    /* 重定向输出结果到文件 */
    freopen("C:\\dp.txt","w",stdout);
    for(i = 0; i <= N; ++i)
    {
        for(j = 0; j <= V; ++j)
        {
            printf("%d   ",maxValue[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
 
}

测试用例：

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程序输出的状态转移矩阵如下图，第一行表示第1个物体对于容量0至V时的最优解，即背包最大价值。该实现方法是0-1背包最基本的思想，追踪状态转移矩阵有助于加深理解，POJ上单纯的0-1背包题目也有不少，如3624等，可以水一下，加深理解。

========================================

0-1背包使用滚动数组压缩空间

所谓滚动数组，目的在于优化空间，从上面的解法我们可以看到，状态转移矩阵使用的是一个N*V的数组，在求解的过程中，我们可以发现，当前状态只与前一状态的解有关，那么之前存储的状态信息已经无用了，可以舍弃的，我们只需要空间存储当前的状态和前一状态，所以只需使用2*V的空间，循环滚动使用，就可以达到跟N*V一样的效果。这是一个非常大的空间优化。

代码如下，我们可以在每轮内循环结束后输出当前状态的解，与上面使用二维数组输出的状态转移矩阵对比，会发现是一样的效果，重定向输出到文本有助加深理解。

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#include <iostream>
using namespace std;
 
/* 0-1背包 版本2
 * Time Complexity  O(N*V)
 * Space Complexity O(2*V)
 * 设 V <= 200 N <= 10
 * 状态转移方程：f(i,v) = max{ f(i-1,v), f(i-1,v-c[i])+w[i] }
 */
 
int maxValue[2][201]; /* 前i个物体面对容量j的最大价值，即子问题最优解 */
int weight[11];
int value[11];
int V, N;
 
void main()
{
    int i, j, k;
    scanf("%d %d",&V, &N);
    for(i = 0; i < N; ++i)
    {
        scanf("%d %d",&weight[i],&value[i]);
    }
    for(i = 0; i < N; ++i)
    {
        for(j = 0; j <= V; ++j) /* 容量为V 等号 */
        {
            if(i > 0)
            {
                k = i & 1;    /* i%2 获得滚动数组当前索引 k */
 
                maxValue[k][j] = maxValue[k^1][j];
                if(j >= weight[i]) /* 等号 */
                {
                    int tmp = maxValue[k^1][j-weight[i]] + value[i];
                    maxValue[k][j] = ( tmp > maxValue[k][j]) ? tmp : maxValue[k][j];
                }
            }else   /* 数组第0行赋值 */
            {
                if(j >= weight[0])
                    maxValue[0][j] = value[0];
            }
        }
    }
 
    printf("%d",maxValue[k][V]);
 
    /* 重定向输出结果到文件 */
    freopen("C:\\dp.txt","w",stdout);
    for(i = 0; i <= 1; ++i)
    {
        for(j = 0; j <= V; ++j)
        {
            printf("%d ",maxValue[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
 
}

这种空间循环滚动使用的思想很有意思，类似的，大家熟悉的斐波那契数列，f(n) = f(n-1) + f(n-2)，如果要求解f(1000)，是不需要申请1000个大小的数组的，使用滚动数组只需申请3个空间f[3]就可以完成任务。

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0-1背包使用一维数组

使用滚动数组将空间优化到了2*V，在背包九讲中提到了使用一维数组也可以达到同样的效果，个人认为这也是滚动思想的一种，由于使用一维数组解01背包会被多次用到，完全背包的一种优化实现方式也是使用一维数组，所以我们有必要理解这种方法。

如果只使用一维数组f[0…v]，我们要达到的效果是：第i次循环结束后f[v]中所表示的就是使用二维数组时的f[i][v]，即前i个物体面对容量v时的最大价值。我们知道f[v]是由两个状态得来的，f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]，使用一维数组时，当第i次循环之前时，f[v]实际上就是f[i-1][v]，那么怎么得到第二个子问题的值呢？事实上，如果在每次循环中我们以v=v…0的顺序推f[v]时，就能保证f[v-c[i]]存储的是f[i-1][v-c[i]]的状态。

逆序的原因：在第i次循环开始之前，f[0---v]中存的相当于使用二维数组时的f[i-1][v],即前（i-1）个物体在容量为v时的最大价值，当第i次循环开始，我们知道f[v]是由两个状态得来的，f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]，此时无论对v正序还是逆序，f[v]都表示f[i-1][v],问题是怎样让f[v-c[i]]表示f[i-1][v-c[i]],如果正序，由于v-c[i]<v，所以在第二重循环中f[v-c[i]]在f[v]之前更新，当第二重循环进行到v时，f[v-c[i]]表示的是f[i][v-c[i]],所以第二重循环需要逆序，这样，才能保证在第i次循环时，第二重循环进行到f[v]时，f[v-c[i]]表示的是f[i-1][v-c[i]].

 

状态转移方程为：

1
v = V...0; f(v) = max{ f(v), f(v-c[i])+w[i] }

我们可以与二维数组的状态转移方程对比一下

1
f(i,v) = max{ f(i-1,v), f(i-1,v-c[i])+w[i] }

正如我们上面所说，f[v-c[i]]就相当于原来f[i-1][v-c[i]]的状态。如果将v的循环顺序由逆序改为顺序的话，就不是01背包了，就变成完全背包了，这个后面说。这里举一个例子理解为何顺序就不是01背包了

假设有物体z容量2，价值vz很大，背包容量为5，如果v的循环顺序不是逆序，那么外层循环跑到物体z时，内循环在v=2时，物体z被放入背包，当v=4时，寻求最大价值，物体z放入背包，f[4]=max{f[4],f[2]+vz}，这里毫无疑问后者最大，那么此时f[2]+vz中的f[2]已经装入了一次物体z，这样一来该物体被装入背包两次了就，不符合要求，如果逆序循环v，这一问题便解决了。

代码如下，为了加深理解，可以在内循环结束输出每一个状态的情况到文本中，会发现与使用二维数组时的状态转移矩阵都是一样一样的。

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#include <iostream>
using namespace std;
 
/* 0-1背包 版本3
 * Time Complexity  O(N*V)
 * Space Complexity O(V)
 * 设 V <= 200 N <= 10
 * 状态转移方程：v = V...0; f(v) = max{ f(v), f(v-c[i])+w[i] }
 */
 
int maxV[201];    /* 记录前i个物品中容量v时的最大价值 */
int weight[11];
int value[11];
int V, N;
 
void main()
{
    int i, j;
    scanf("%d %d",&V, &N);
    for(i = 0; i < N; ++i)
    {
        scanf("%d %d",&weight[i],&value[i]);
    }
 
    /*
     * 对于第i轮循环
     * 求出了前i个物品中面对容量为v的最大价值
    */
    for(i = 0; i < N; ++i)
    {
        /*
         * 内循环实际上讲maxV[0...v]滚动覆盖前一轮的maxV[0...V]
         * 可输出对照使用二维数组时的情况
         * j从V至0逆序是防止有的物品放入背包多次
        */
        for(j = V; j >= weight[i]; --j)   /* weight > j 的物品不会影响状态f[0,weight[i-1]]  */
        {
            int tmp = maxV[j-weight[i]]+value[i];
            maxV[j] = (maxV[j] > tmp) ? maxV[j] : tmp;
        }
    }
    printf("%d",maxV[V]);
}

可以看出，使用一维数组，代码非常简练。

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0-1背包恰好背满

在01背包中，有时问到“恰好装满背包”时的最大价值，与不要求装满背包的区别就是在初始化的时候，其实对于没有要求必须装满背包的情况下，初始化最大价值都为0，是不存在非法状态的，所有的都是合法状态，因为可以什么都不装，这个解就是0，但是如果要求恰好装满，则必须区别初始化，除了f[0]=0,其他的f[1…v]均设为-∞或者一个比较大的负数来表示该状态是非法的。

这样的初始化能够保证，如果子问题的状态是合法的（恰好装满），那么才能得到合法的状态；如果子问题状态是非法的，则当前问题的状态依然非法，即不存在恰好装满的情况。

代码如下：

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#include <iostream>
using namespace std;
 
int maxV[201];    /* 记录前i个物品中容量v时的最大价值 */
int weight[11];
int value[11];
int V, N;
 
void main()
{
    int i, j;
    scanf("%d %d",&V, &N);
    for(i = 0; i < N; ++i)
    {
        scanf("%d %d",&weight[i],&value[i]);
    }
    for(i = 1; i <= V; ++i)  /* 初始化非法状态 */
    {
        maxV[i] = -100;
    }
 
    for(i = 0; i < N; ++i)
    {
        for(j = V; j >= weight[i]; --j)
        {
            int tmp = maxV[j-weight[i]]+value[i];
            maxV[j] = (maxV[j] > tmp) ? maxV[j] : tmp;
        }
    }
}

为了加深理解，输出每轮循环的状态矩阵如下，对照每个物体的情况，就会理解为什么做那样的初始化了。

========================================

0-1背包输出最优方案

一般来讲，背包问题都是求一个最优值，但是如果要求输出得到这个最优值的方案，就可以根据状态转移方程往后推，由这一状态找到上一状态，依次向前推即可。

这样就可以有两种实现方式，一种是直接根据状态转移矩阵向前推，另一种就是使用额外一个状态矩阵记录最优方案的路径，道理都是一样的。当然也可以使用一维数组，代码更为简练，这里不罗列，相关代码可以到这里下载。

代码如下：

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#include <iostream>
using namespace std;
 
/* 0-1背包 输出最优方案 2 直接根据状态数组算
 * Time Complexity  O(N*V)
 * Space Complexity O(N*V)
 * 设 V <= 200 N <= 10
 * 状态转移方程：f(i,v) = max{ f(i-1,v), f(i-1,v-c[i])+w[i] }
 */
 
int maxValue[11][201]; /* 记录子问题最优解 */
int weight[11];
int value[11];
int V, N;
 
void main()
{
    int i, j;
    scanf("%d %d",&V, &N);
    for(i = 0; i < N; ++i)
    {
        scanf("%d %d",&weight[i],&value[i]);
    }
    for(i = 0; i < N; ++i)
    {
        for(j = 0; j <= V; ++j)
        {
            if(i > 0)
            {
                maxValue[i][j] = maxValue[i-1][j];
                if(j >= weight[i])
                {
                    int tmp = maxValue[i-1][j-weight[i]] + value[i];
                    maxValue[i][j] = ( tmp > maxValue[i][j]) ? tmp : maxValue[i][j];
                }
            }else
            {
                if(j >= weight[0])
                    maxValue[0][j] = value[0];
            }
        }
    }
 
    printf("%d\n",maxValue[N-1][V]);
 
    i = N-1;
    j = V;
    while(i >= 0)
    {
        if(maxValue[i][j] == maxValue[i-1][j-weight[i]] + value[i])
        {
            printf("%d ",i);
            j = j - weight[i];
        }
        --i;
    }
}

01背包是背包问题的基础，加深理解的最好方式就是动手写一下，然后对照最终的状态转移矩阵一一比对。

本文相关代码可以到这里下载。

（全文完）

参考资料：背包问题九讲 http://love-oriented.com/pack/

 
分类:算法 数据结构标签:0/1背包, 01背包一维数组, 01背包恰好背满, DP, DP输出最优方案, POJ, 动态规划, 滚动数组, 背包
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
完全:http://www.ahathinking.com/archives/108.html

完全背包

2012年6月11日Yx.Ac发表评论阅读评论
 
文章作者：Yx.Ac   文章来源：勇幸|Thinking (http://www.ahathinking.com)   转载请注明，谢谢合作。

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前面回顾了01背包，在此基础上本节回顾完全背包的几种实现形式，主要有以下几方面内容：

==完全背包问题定义 & 基本实现

==完全背包二进制拆分思想

==完全背包使用滚动数组（略）

==完全背包中的逆向思维

==完全背包使用一维数组

========================================

完全背包问题定义 & 基本实现

问题：有个容量为V大小的背包，有很多不同重量weight[i](i=1..n)不同价值value[i](i=1..n)的货物，每种物品有无限件可用，想计算一下最多能放多少价值的货物。

与01背包不同的是，完全背包每件物体可以放入无限件（只要能放的下），故对于每件物品i，相当于拆分成了v/c[i]件相同的物品，拆分之后物品i就不是放入或不放入的两种情况了，而是放入0件、放入1件、放入2件…等情况了，对于该件物品i，最大价值取放入k件的最大值，故状态转移方程为：

1
f(i,v) = max{ f(i-1,v-k*c[i]) + k*w[i] | 0<=k<=v/c[i] }

各状态的意义不再赘述，上代码，关于复杂度以及每种物品的状态数见代码注释：

 

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#include <iostream>
using namespace std;
 
/* 完全背包 版本1
 * Time Complexity  大于O(N*V)
 * Space Complexity O(N*V)
 * 设 V <= 200 N <= 10
 * 状态转移方程：f(i,v) = max{ f(i-1,v-k*c[i]) + k*w[i] | 0<=k<=v/c[i]  }
 * 每件物品有v/c[i]种状态
 */
 
int maxV[11][201];    /* 记录子问题最优解，物品可重复 */
int weight[11];
int value[11];
int V, N;
 
void main()
{
    int i, j, k;
    scanf("%d %d",&V, &N);
    for(i = 0; i < N; ++i)
    {
        scanf("%d %d",&weight[i],&value[i]);
    }
    for(i = 0; i < N; ++i)
    {
        for(j = 0; j <= V; ++j)
        {
            if(i > 0)
            {
                maxV[i][j] = maxV[i-1][j];
                if(j/weight[i] >= 1)
                {
                    int max_tmp = 0;
                    for(k = 1; k <= j/weight[i]; ++k)//正是因为加了i-1这一个限制条件，所以用二维数组做的完全背包必须再加一重k循环，因为有了i-1这个限制，所以不可能访问到本次也就是第i次循环的数据
                    {
                        if(maxV[i-1][j-k*weight[i]] + k*value[i] > max_tmp)
                        {
                            max_tmp = maxV[i-1][j-k*weight[i]] + k*value[i];
                        }
                    }
                    maxV[i][j] = maxV[i][j] > max_tmp ? maxV[i][j] : max_tmp;
                }
            }else
            {
                if(j/weight[0] >= 1)
                {
                    maxV[0][j] = j/weight[0] * value[0];
                }
            }
        }
    }
    printf("%d",maxV[N-1][V]);
}

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完全背包二进制拆分思想

这种实现方式是对完全背包的基本实现做了一个优化，叫“二进制拆分”。所谓“拆分物体”就是将一种无限件物品拆分成有效的几件物品，拆分物体的目的是通过减少物品个数来降低复杂度。

在完全背包中，每种物品i对于容量v来讲实际上相当于有v/c[i]件，故在上述的基本实现中，k就要循环测试v/c[i]次。

这里的拆分是利用了一种二进制思想：即任何数字都可以表示成若干个2^k数字的和，例如7可以用1+2+2^2表示；这很好理解，因为任何正数都可以转成二进制，二进制就是若干个“1”（2的幂数）之和。

所以不管最优策略选择几件物品i，我们都可以将物品i拆成费用为c[i]*2^k，价值为w[i]*2^k的若干件物品。这样物品的状态数就降为了log(v/c[i])，是很大的改进。

在代码实现上，与基本实现的差别很小，区别如下

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/* 完全背包 版本2
 * Time Complexity  大于O(N*V)
 * Space Complexity O(N*V)
 * 设 V <= 200 N <= 10
 * 状态转移方程：f(i,v) = max{ f(i-1,v-2^k*c[i]) + 2^k*w[i] | 0<=k<=log v/c[i]  }
 * 每件物品降低为 log(v/c[i]) 种状态
 */
for(k = 1; k <= j/weight[i]; k <<= 1)
{
     if(maxV[i-1][j-k*weight[i]] + k*value[i] > max_tmp)
     {
          max_tmp = maxV[i-1][j-k*weight[i]] + k*value[i];
     }
}

对于使用滚动数组的实现，这里就不写了，跟01背包是一样的。

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完全背包中的逆向思维

我们知道，在01背包和完全背包的实现中，都是针对每种物品进行讨论，即外循环都是for i=0…n，然后每种物品对于容量v的变化而求得最大价值；

在完全背包中，由于物品的件数无限，所以我们可以倒过来想，我们针对每个容量讨论，外循环为容量，对于每个容量j，我们求j对于所有物品能装载的最大价值，这样一来我们就能将时间复杂度降为O(N*V)了。代码如下：

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#include <iostream>
using namespace std;
 
/* 完全背包 版本3
 * Time Complexity  O(N*V)
 * Space Complexity O(N*V)
 * 设 V <= 200 N <= 10
 */
 
int maxValue[201][11]; /* 记录子问题的各状态 */
int weight[11];
int value[11];
int maxV[201]; /* 记录子问题的最优解 */
int V, N;
 
void main()
{
    int i, j;
    scanf("%d %d",&V, &N);
    for(i = 0; i < N; ++i)
    {
        scanf("%d %d",&weight[i],&value[i]);
    }
 
    for(i = 1; i <= V; ++i)
    {
        int i_maxV = 0;        /* 记录子问题i的最优解 */
 
        /* 每个容量求面对所有物体能装载的最大价值 */
        for(j = 0; j < N; ++j)
        {
            if(i >= weight[j])
            {
                int tmp = maxV[i-weight[j]] + value[j];
                maxValue[i][j] = maxV[i-1] > tmp ? maxV[i-1] : tmp;
            }else
            {
                maxValue[i][j] = maxV[i-1];
            }
            if(maxValue[i][j] > i_maxV)
            {
                i_maxV = maxValue[i][j];
            }
        }
        maxV[i] = i_maxV;
    }
 
    printf("%d",maxV[V]);
 
    /* 重定向输出结果到文件 */
    freopen("C:\\dp.txt","w",stdout);
    for(i = 0; i <= V; ++i)
    {
        for(j = 0; j < N; ++j)
        {
            printf("%d ",maxValue[i][j]);
        }
        printf("   %d\n",maxV[i]);
    }
 
}

同样，可以将状态转移矩阵重定向输出到文件进行对比，一看就明白了，这里就不贴图片了。

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完全背包使用一维数组

对于01背包和完全背包，无论是空间复杂度还是时间复杂度，最优的方法还是使用一维数组进行实现。

基于01背包的分析，由于不必考虑物品的重复放入，故v的循环采用顺序即可。

 能够想到用一维数组的人很聪明，因为他很巧妙地减少了一重循环，这是为什么呢，你仔细想一下，如果用一维数组，那么就没有了现在的dp数组只能访问第i-1重循环的限制，dii重循环可以访问这重循环前面计算出来的数据，也就是说，在这重（第i重）循环中，可以多次累加i物品，这样就避免了三重循环。 代码如下：

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#include <iostream>
using namespace std;
 
/* 完全背包 版本4
 * Time Complexity  O(N*V)
 * Space Complexity O(V)
 * 设 V <= 200 N <= 10
 * 状态转移方程：v =0...V; f(v) = max{ f(v), f(v-c[i])+w[i] }
 */
 
int maxV[201];    /* 记录前i个物品中容量v时的最大价值, 物品可重复 */
int weight[11];
int value[11];
int V, N;
 
void main()
{
    int i, j;
    scanf("%d %d",&V, &N);
    for(i = 0; i < N; ++i)
    {
        scanf("%d %d",&weight[i],&value[i]);
    }
    for(i = 0; i < N; ++i)
    {
        for(j = weight[i]; j <= V; ++j)  /* j<weight[i]的对前面的状态不会有影响 */
        {
            int tmp = maxV[j-weight[i]]+value[i];
            maxV[j] = (maxV[j] > tmp) ? maxV[j] : tmp;
        }
    }
    printf("%d",maxV[V]);
}

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PS：值得一提的是，在01背包和完全背包中，我们用到了两种思想，个人认为还是很有用的，其他地方也会用到很多，我们有必要在此留心：

  • 滚动数组压缩空间的思想
  • 二进制拆分的思想

记得有一回看到的面试题就用到了二进制拆分的思想，具体是啥忘了，以后碰到再说吧，就这样。

本文相关代码可以到这里下载。

（全文完）

参考资料：背包问题九讲 http://love-oriented.com/pack/

 
分类:算法 数据结构标签:一维动规, 二进制拆分, 完全背包, 滚动数组
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
多重：http://www.ahathinking.com/archives/109.html

多重背包

2012年6月11日Yx.Ac发表评论阅读评论
 
文章作者：Yx.Ac   文章来源：勇幸|Thinking (http://www.ahathinking.com)   转载请注明，谢谢合作。

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前面已经回顾了01背包和完全背包，本节回顾多重背包的几种实现形式，主要有以下几方面内容：

==多重背包问题定义 & 基本实现

==多重背包二进制拆分实现

==防火防盗防健忘

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多重背包问题定义 & 基本实现

问题：有个容量为V大小的背包，有很多不同重量weight[i](i=1..n)不同价值value[i](i=1..n)的货物，第i种物品最多有n[i]件可用，计算一下最多能放多少价值的货物。

对于多重背包的基本实现，与完全背包是基本一样的，不同就在于物品的个数上界不再是v/c[i]而是n[i]与v/c[i]中较小的那个。状态转移方程如下

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f(i,v) = max{ f(i-1,v-k*c[i]) + k*w[i] | 0<=k<=n[i] }

代码与完全背包的区别仅在内部循环上由

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for(k = 1; k <= j/weight[i]; ++k)

变为

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for(k = 1; k <=n[i] && k<=j/weight[i]; ++k)

当然，输入上的区别就不说了。

 

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多重背包二进制拆分实现

跟完全背包一样的道理，利用二进制的思想将n[i]件物品i拆分成若干件物品，目的是在0-n[i]中的任何数字都能用这若干件物品代换，另外，超过n[i]件的策略是不允许的。

方法是将物品i分成若干件，其中每一件物品都有一个系数，这件物品的费用和价值都是原来的费用和价值乘以这个系数，使得这些系数分别为1,2,4,…,2^(k-1),n[i]-2^k+1，且k满足n[i]-2^k+1>0的最大整数。例如，n[i]=13，就将该物品拆成系数为1、2、4、6的四件物品。分成的这几件物品的系数和为n[i]，表明不可能取多于n[i]件的第i种物品。另外这种方法也能保证对于0..n[i]间的每一个整数，均可以用若干个系数的和表示。

代码如下：测试用例见代码末的注释

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#include <iostream>
using namespace std;
 
/* 多重背包 二进制拆分
 * Time Complexity  大于O(N*V)
 * Space Complexity O(N*V)
 * 设 V <= 200 N <= 10 ，拆分后 物品总数 < 50
 * 每件物品有 log n[i]种状态
 */
 
int maxV[201];
int weight[50]; /* 记录拆分后物体重量 */
int value[50];  /* 记录拆分后物体价值 */
int V, N;
 
void main()
{
    int i, j;
    scanf("%d %d",&V, &N);
    int weig, val, num;
    int count = 0;
 
    for(i = 0; i < N; ++i)
    {
        scanf("%d %d %d",&weig,&val,&num);
 
        for(j = 1; j <= num; j <= 1) // 二进制拆分
        {
            weight[count] = j * weig;
            value[count++] = j * val;
            num -= j;
        }
        if(num > 0)
        {
            weight[count] = num * weig;
            value[count++] = num * val;
        }
    }
    for(i = 0; i < count; ++i)  // 使用01背包
    {
        for(j = V; j >= weight[i]; --j)
        {
            int tmp = maxV[j-weight[i]] + value[i];
            maxV[j] = maxV[j] > tmp ? maxV[j] : tmp;
        }
    }
    printf("%d",maxV[V]);
}
 
/*
    【输入样例】
    4 20
    3     9     3
    5     9     1
    9     4     2
    8     1     3
    【输出样例】
    47
*/

========================================

简单背包基础总结：

回顾了3种简单背包后，有些思想慢慢体会，实践中，对于01背包和完全背包使用一维数组实现是最简便高效的，对于多重背包，最好就是输入时进行二进制拆分，然后使用01背包，这样比基本实现和在运算时再进行拆分要简捷的多。

防火防盗防健忘：

没事水一下：POJ  PKU：

01背包： 3211、3624、3628

完全背包：1252、1384、2063

多重背包：1014、1276、1742、2392、3260（完全+多重）

本文相关代码可以到这里下载。

（全文完）

参考资料：背包问题九讲 http://love-oriented.com/pack/

 
分类:算法 数据结构标签:PKU, POJ, 二进制拆分, 多重背包
posted @ 2015-05-29 23:31  zach96  阅读(336)  评论(0)  编辑  收藏  举报