采样定理

信号$x(t)$的频谱为 $X(\mathrm{j}\omega )$。
对信号使用周期单位冲激串采样得到采样信号 $x_p(t)$:

$$x_p(t)=x(t)p(t)$$

其中，$p(t)$为采样函数， 是周期为 $T$的周期单位冲激串, 并且 $p(t)$ 的基波频率 ${\omega }_s=\frac{2\pi }{T}$。 采样函数如下：

$$p(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\delta (t-nT)$$

周期为$T$的单位冲激串函数$p(t)$ 的傅里叶变换为强度为 $\frac{2\pi }{T}$ 周期为 $\frac{2\pi }{T}$的周期冲激串:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}P(\mathrm{j}\omega )& =\frac{2\pi }{T}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\delta (\omega -\frac{2\pi k}{T})\\ & =\frac{2\pi }{T}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\delta (\omega -k{\omega }_s)\end{array} \\ \mathrm{其}\mathrm{中}，{\omega }_s=\frac{2\pi }{T} \end{gathered}$$

根据冲激函数的采样性质，$x_p(t)$ 为一个冲激串，每个冲激的强度等于 $x(t)$ 在以 $T$ 为间隔处的样本值。采样过程如下图：

采样得到信号为：

$$x_p(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(nT)\delta (t-nT)$$

根据傅里叶变换的相乘性质：

$$r(t)=s(t)p(t)⟷R(\mathrm{j}\omega )=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}S(\mathrm{j}\theta )P(\mathrm{j}(\omega -\theta ))\mathrm{d}\theta$$

可得：

$$x_p(t)=x(t)p(t)⟷X_p(\mathrm{j}\omega )=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}X(\mathrm{j}\theta )P(\mathrm{j}(\omega -\theta ))\mathrm{d}\theta$$

因为冲激函数的采样性质， $X(\mathrm{j}\omega )P(\mathrm{j}(\omega -\theta )）$ 的积分只在 $\omega =\theta$ 的位置不为0，因此根据上式有：

$$\begin{array}{rl}{X}_p(\mathrm{j}\omega )& =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}X(\mathrm{j}\theta )P(\mathrm{j}(\omega -\theta ))\mathrm{d}\theta \\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}X(\mathrm{j}\omega )P(\mathrm{j}(\omega -\theta ))\mathrm{d}\theta \end{array}$$

已知周期单位冲激串的傅里叶变换为：

$$P(\mathrm{j}\omega )=\frac{2\pi }{T}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\delta (\omega -k{\omega }_s)$$

因此， $X_p(\mathrm{j}\omega ）$ 就是 $X(\mathrm{j}\omega ）$ 与上式中每个分量冲激的卷积结果之和。
而信号与一个冲激的卷积结果为信号在冲激位置的位移，即 $x(t)\ast \delta (t-T)=x(t-T)$, 那么有:

$$X(\mathrm{j}\omega )\ast \delta (\omega -k{\omega }_s)=X(\mathrm{j}(\omega -k{\omega }_s))$$

结合上面三式，有：

$$X_p(\mathrm{j}\omega )=\frac{1}{T}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}X(\mathrm{j}(\omega -k{\omega }_s)$$

结果是采样得到的信号 $x_p(t)$ 的频谱是原信号 $(t)$ 的频谱以 ${\omega }_s$为周期重复的函数，即频谱被周期性地复制在间隔为 ${\omega }_s$ 的原频谱两侧，同时幅度变为原来的 $\frac{1}{T}$。

从上图可见，两个重复频谱的间隔为 ${\omega }_s-2{\omega }_M$, 其中 ${\omega }_M$ 为原信号频谱的截止频率（带限），当 ${\omega }_s>2{\omega }_M$ 时，复制的频谱没有重叠，此时将采样得到的信号 $x_p(t)$ 经过一个通带 ${\omega }_c$在 ${\omega }_M$和${\omega }_s-{\omega }_M$范围内的低通滤波器，并对幅度加以 $T$ 倍的增益，那么，输出的信号$x_r(t)$将完全还原为 $x(t)$，即 $X_r(\mathrm{j}\omega )=X(\mathrm{j}\omega )$, 这就是采样定理。