信号\(x(t)\)的频谱为 \(X(\mathrm{j}\omega)\)。
对信号使用周期单位冲激串采样得到采样信号 \(x_p(t)\):
\[x_p(t) = x(t)p(t)
\]
其中，\(p(t)\)为采样函数， 是周期为 \(T\)的周期单位冲激串, 并且 \(p(t)\) 的基波频率 \(\omega_s=\frac{2\pi}{T}\)。 采样函数如下：
\[p(t) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT)
\]
周期为\(T\)的单位冲激串函数\(p(t)\) 的傅里叶变换为强度为 \(\frac{2\pi}{T}\) 周期为 \(\frac{2\pi}{T}\)的周期冲激串:
\[\begin{aligned}
P(\mathrm{j}\omega)&=\frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-\frac{2\pi k}{T}) \\
&=\frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-k\omega_s)
\end{aligned} \\
其中，\omega_s=\frac{2\pi}{T}
\]
根据冲激函数的采样性质，\(x_p(t)\) 为一个冲激串，每个冲激的强度等于 \(x(t)\) 在以 \(T\) 为间隔处的样本值。采样过程如下图：
采样得到信号为：
\[x_p(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(nT)\delta(t - nT)
\]
根据傅里叶变换的相乘性质：
\[r(t)=s(t)p(t)\longleftrightarrow R(\mathrm{j}\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} S(\mathrm{j}\theta)P(\mathrm{j}(\omega-\theta)) \mathrm{d}\theta
\]
可得：
\[x_p(t)=x(t)p(t)\longleftrightarrow X_p(\mathrm{j}\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} X(\mathrm{j}\theta)P(\mathrm{j}(\omega-\theta)) \mathrm{d}\theta
\]
因为冲激函数的采样性质， \(X(\mathrm{j}\omega) P(\mathrm{j}(\omega-\theta)）\) 的积分只在 \(\omega=\theta\) 的位置不为0，因此根据上式有：
\[\begin{aligned}
X_p(\mathrm{j}\omega)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} X(\mathrm{j}\theta)P(\mathrm{j}(\omega-\theta)) \mathrm{d}\theta \\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} X(\mathrm{j}\omega)P(\mathrm{j}(\omega-\theta)) \mathrm{d}\theta
\end{aligned}
\]
已知周期单位冲激串的傅里叶变换为：
\[P(\mathrm{j}\omega)=\frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-k\omega_s)
\]
因此， \(X_p(\mathrm{j}\omega）\) 就是 \(X(\mathrm{j}\omega）\) 与上式中每个分量冲激的卷积结果之和。
而信号与一个冲激的卷积结果为信号在冲激位置的位移，即 \(x(t)*\delta(t-T)=x(t-T)\), 那么有:
\[X(\mathrm{j}\omega)*\delta(\omega-k\omega_s)=X(\mathrm{j}(\omega-k\omega_s))\]
结合上面三式，有：
\[X_p(\mathrm{j}\omega)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}X(\mathrm{j}(\omega-k\omega_s)
\]
结果是采样得到的信号 \(x_p(t)\) 的频谱是原信号 \((t)\) 的频谱以 \(\omega_s\)为周期重复的函数，即频谱被周期性地复制在间隔为 \(\omega_s\) 的原频谱两侧，同时幅度变为原来的 \(\frac{1}{T}\)。
从上图可见，两个重复频谱的间隔为 \(\omega_s-2\omega_M\), 其中 \(\omega_M\) 为原信号频谱的截止频率（带限），当 \(\omega_s>2\omega_M\) 时，复制的频谱没有重叠，此时将采样得到的信号 \(x_p(t)\) 经过一个通带 \(\omega_c\)在 \(\omega_M\)和\(\omega_s-\omega_M\)范围内的低通滤波器，并对幅度加以 \(T\) 倍的增益，那么，输出的信号\(x_r(t)\)将完全还原为 \(x(t)\)，即 \(X_r(\mathrm{j}\omega)=X(\mathrm{j}\omega)\), 这就是采样定理。
