卷积

卷积和

理解卷积核心就是要理解自变量变换，卷积和的公式如下：

$$\begin{gathered} y[n]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x[k]h[n-k] \\ y[n]=x[k]\ast h[n-k] \end{gathered}$$

这里重点是 $h[n-k]$, 它是 $h[n]$ 自变量 $n$ 平移 $k$ 后的函数。
卷积和定义了一个新的离散函数 $y[n]$，$n,k$是自变量坐标上不同的点。
当确定函数 $x$ 的一个点 $k$, 对应任意一点 $n$, 有 $n$ 与 $k$ 之间的距离为 $n-k$.
先看卷积和单项式的含义。假定 $k$ 为定数，即在给定点 $k$, 有函数:

$$r_k[n]=x[k]h[n-k]$$

函数 $r_k[n]$ 为函数 $x$ 在 $k$ 点的值与函数 $h[n-k]$的乘积。重点考察函数 $h[n-k]$, $k$ 为常数，$n$ 为自变量，宗量 $n-k$ 为自变量 $n$ 的变换函数。对于 $x[k]$, 函数$r_k[n]$的另一个乘积项为函数$h$在宗量 $n-k$ 上的取值，即 $h[(n-k)-0]$的值，即函数 $h$ 从0偏移$n$与$k$的距离，这里既不是$h[n]$，也不是$h[k]$,而是取$(n,k)$的距离$h[n-k]$。可以认为，$x[k]$的值对函数$r_k[n]$在n点的影响与 $n$ 与 $k$ 的差值即距离相关，相关的方式是用差值$n-k$求得函数$h[n-k]$的值作为另一个乘积项。
那么，在给定的 $k$ 点可得一个 $n$ 点的函数值 $r_k[n]$，对任意 $k$ 点都可得一个 $r_k[n]$ 的值，所有k点的$r_k[n]$ 值的累积和为：

$$\begin{array}{r}\\ S[n]& =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{r}_k[n]\\ & =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x[k]h[n-k]\\ & =y[n]\end{array}$$

通过上面的分析，卷积和就是要求得一个函数$y[n]$，这个函数要求得在函数 $x[n]$及函数$h[n]$的定义域上任意一个$n$，在这个点映射出来的值，与$x[n]$的定义域上全部值域都有关系，也即在$x[n]$的定义域上的每个函数值都对函数$y[n]$在给定点$n$的函数值有关系,这种关系由$x[n]$上每个点$k$与$y[n]$与位于$n$点的自变量距离和另外一个给定函数$h[n-k]$决定，即取 $h[n-k]$值为函数的一个计算因子。
这样，卷积和的结果就是一个以卷积因子的全部值域为变量的函数。一个例子就是如果对一副图进行卷积运算，那么，原图上的每个点可以设置一个新的属性，新属性由原图的所有点运算得到，而这个点的新属性和该点与其他点的属性及距离有关，这个距离作为卷积运算中一个计算因子的因变量。
设$P$为图的点集，$p(i),i\in P$为点集中的点$i$的原属性，定义图上点的新属性$N(i)$：

$$N(j)=\sum _{i\in P}p[i]h[j-i]$$

式中函数 $h$ 将决定新属性的意义，它对点 $j$ 的新属性受其他点原属性的影响由卷积结果的 $j$ 点与其他点的距离决定。
举例说明，如果原属性为图上点的亮度值，选择合适的函数$h[i]$，可生成锐化或钝化的黑白图像。参见如何通俗易懂地解释卷积。
卷积和的关键是对于每一个$x[k]$，确定其对$y[n]$贡献的$h$函数的宗量，简单的数学表达式就是 $n-k$ ,其他方法的目的也是一样，只是从不同的角度去求这个值。
事实上，如果把 $h[n-k]$ 视为 $h[k]$ 经变换 $f[j]=h[-(k-n)]$, 即反转后移位$n$后，$x[k]h[n-k]=x[k]f[k]$, 即对 $h$ 进行反转移位$n$后, n处的卷积和的各项因子在坐标上是对齐的，实际上对齐的$f[k]$的值就是$h[n-k]$的值。

卷积积分

用冲激函数表示连续函数

连续函数 $x(t)$可用阶梯函数近似表达：

设阶梯函数表示为 $\hat{x}(t)$, $\hat{x}(t)$的步进为 $\mathrm{\Delta }$。
定义脉冲函数${\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t)$如下式：

$${\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t)=\{\begin{array}{lc}\frac{1}{\mathrm{\Delta }},& 0⩽t⩽\mathrm{\Delta }\\ 0,& \text{ 其余 }t\end{array}$$

这是一个位于$[0,\mathrm{\Delta }]$范围，高度为$\frac{1}{\mathrm{\Delta }}$的一个脉冲函数。
阶梯函数的某一段$[k\mathrm{\Delta },k\mathrm{\Delta }+\mathrm{\Delta }]$的函数${\hat{x}}_k(t)$可用脉冲函数 ${\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t)$的移位函数 ${\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t-k\mathrm{\Delta })$ 与$x(k\mathrm{\Delta })$及$\mathrm{\Delta }$的乘积$x(k\mathrm{\Delta }){\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t-k\mathrm{\Delta })\mathrm{\Delta }$来表示:

上图这一段为：

$${\hat{x}}_k(t)=x(k\mathrm{\Delta }){\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t-k\mathrm{\Delta })\mathrm{\Delta }$$

因为${\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t-k\mathrm{\Delta })$的高度为 $\frac{1}{\mathrm{\Delta }}$, 且仅在 $k\mathrm{\Delta }⩽t⩽k\mathrm{\Delta }+\mathrm{\Delta }$时不为0，故 ${\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t-k\mathrm{\Delta })\mathrm{\Delta }$ 在$k\mathrm{\Delta }⩽t⩽k\mathrm{\Delta }+\mathrm{\Delta }$时为1，其余为0。

$${\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t-k\mathrm{\Delta })\mathrm{\Delta }=\{\begin{array}{lc}1,& k\mathrm{\Delta }⩽t⩽(k+1)\mathrm{\Delta }\\ 0,& \text{ 其余 }t\end{array}$$

那么有：

$${\hat{x}}_k(t)=x(k\mathrm{\Delta }){\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t-k\mathrm{\Delta })\mathrm{\Delta }=\{\begin{array}{lc}x(k\mathrm{\Delta }),& k\mathrm{\Delta }⩽t⩽(k+1)\mathrm{\Delta }\\ 0,& \text{ 其余 }t\end{array}$$

$\hat{x}(t)$就是所有段的组合，用 $x(t)$和${\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t)$表示$\hat{x}(t)$:

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \begin{array}{rl}\hat{x}(t)& =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\hat{x}}_k(t)\\ & =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(k\mathrm{\Delta }){\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t-k\mathrm{\Delta })\mathrm{\Delta }\end{array}\end{array}$$

这里有一个关键点，就是 ${\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t)$的高度取值是 $\frac{1}{\mathrm{\Delta }}$而不是1！。单就表示阶梯函数而言，脉冲函数的高度也是可以取1的，如定义脉冲函数${\delta }_1(t)$:

$${\delta }_1(t)=\{\begin{array}{lc}1,& 0⩽t⩽\mathrm{\Delta }\\ 0,& \text{ 其余 }t\end{array}$$

那么阶梯函数可以表示为：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \begin{array}{rl}\hat{x}(t)& =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(k\mathrm{\Delta }){\delta }_1(t-k\mathrm{\Delta })\end{array}\end{array}$$

注意式（1）与（2）之间的区别在于式（1）的乘积项多一个因子 $\mathrm{\Delta }$。
这两个式子都说明，阶梯函数可以表示为一串移位脉冲的加权和, 其中式（1）的加权因子为$x(k\mathrm{\Delta })\mathrm{\Delta }$。
随着$\mathrm{\Delta }$逐渐变小，$\hat{x}(t)$就逐渐趋近于$x(t)$, 当$\mathrm{\Delta }$趋向于0，则有：

$$\begin{array}{}\text{(3)}& x(t)=\underset{\mathrm{\Delta }\to 0}{lim}\hat{x}(t)=\underset{\mathrm{\Delta }\to 0}{lim}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(k\mathrm{\Delta }){\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t-k\mathrm{\Delta })\mathrm{\Delta }\end{array}$$

这样，连续函数$x(t)$也可以理解为表示成了移位脉冲加权和的线性组合。
因为有：

$$\delta (t)=\underset{\mathrm{\Delta }\to 0}{lim}{\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t)$$

即宽度为$\mathrm{\Delta }$高度为 $\frac{1}{\mathrm{\Delta }}$的脉冲, 面积始终为1，在 $\mathrm{\Delta }\to 0$ 时就变为单位冲激函数 $\delta (t)$，而式（3）实际上表示的是阶梯函数在 $\mathrm{\Delta }\to 0$时的面积（如果不取极限，也就是阶梯函数的面积），根据面积与积分的关系，所以有:

$$\begin{array}{}\text{(4)}& x(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(\tau )\delta (t-\tau )\mathrm{d}\tau \end{array}$$

这样，$x(t)$就表示成一个加权的移位冲激函数的和（即积分）。
式（4）为连续时间冲激函数的筛选性质。

卷积积分

一个线性时不变系统对单位冲激函数 $\delta (t)$的响应函数为 $h(t)$, 那么，对移位的单位冲激函数 $\delta (t-\tau )$的响应就是 $h(t-\tau )$。
由于信号 $x(t)$可表示为一组单位移位冲激 $\delta (t-\tau )$的加权和，这里对冲激 $\delta (t-\tau )$的权是 $x(\tau )\mathrm{d}\tau$, 因此 $x(t)$的响应$y(t)$可表示为一组移位冲激的响应 $h(t-\tau )$的加权和，其权也就是 $x(\tau )\mathrm{d}\tau$，因此，有：

$$\begin{array}{}\text{(5)}& y(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(\tau )h(t-\tau )\mathrm{d}\tau \end{array}$$

式（5）称为卷积积分或叠加积分,记为信号 $x(t)$与信号 $h(t)$的卷积：

$$y(t)=x(t)\ast h(t)$$

与离散信号一样，卷积本质是$y$在时刻$t$的响应$y(t)$为信号 $x(t)$ 的所有时刻信号的响应在时刻$t$的分量的叠加，也就是全部的$x(t)$对时刻 $t$ 响应的贡献。

卷积的性质

卷积运算满足交换律、结合律和分配律：

交换律

$$x(t)\ast h(t)=h(t)\ast x(t)$$

分配律

$$x(t)\ast [h_1(t)+h_2(t)]=x(t)\ast h_1(t)+x(t)\ast h_2(t)$$

结合律

$$x(t)\ast [h_1(t)\ast h_2(t)]=[x(t)\ast h_1(t)]\ast h_2(t)$$