向量与复数

向量

向量定义

  像“一点相对于另一点的位移”这种既有大小又有方向的量叫做向量（ｖｅｃｔｏｒ）．准确地说，一个向量由两个要素定义，一是它的大小（一个非负实数），一是它的方向.
  在研究向量的性质并定义与向量相关的各种运算时，常常把向量用有向线段（ｄｉｒｅｃｔｅｄｌｉｎｅｓｅｇｍｅｎｔ，即指定了方向的线段）表示出来，线段的长度就是向量的大小，线段的方向表示向量的方向．我们也直接把表示向量的有向线段称作向量，有向线段的起点称为向量的起点，有向线段的终点称为向量的终点．在一个平面上的向量所涉及的所有向量都能用同一个平面上的有向线段表示出来．
  在讨论向量时，仅仅有数值（可以是任何实数）而没有方向的量称为数量（ｓｃａｌａｒ），又称为“标量”．
  物理学中所研究的力有大小、方向和作用点三要素，向量舍弃了作用点这一要素，这种向量叫做自由向量．
  向量 $ \vec{a} $ 的大小叫做 \(\vec{a}\) 的模（ｍｏｄｕｌｕｓ），记作\(｜\vec{a}｜\)．模为１的向量叫做单位向量（ｕｎｉｔｖｅｃｔｏｒ）．
  规定模为０的向量叫做零向量（ｚｅｒｏｖｅｃｔｏｒ），记作\(\vec{a}\)，可认为它具有任意方向．如果两个非零向量所在的直线平行或者重合，那么称这两个向量平行．我们用记号\(\vec{a}//\vec{b}\)表示向量\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\) 平行．
  如果两个向量同方向且具有相同的模，根据向量的定义，它们就是同一个向量，不过我们常常只说它们是相等的向量．特别地，一个向量平移后得到的向量与原来的向量相等．
  如果一对平行向量\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)具有相等的模但方向相反，那么称它们互为负向量，或者称\(\vec{a}\)为\(\vec{b}\)的负向量，记作\(\vec{b}=-\vec{a}\)．

向量运算

向量加法

平等四边形法则

  两个不平行的向量\(\vec{a}、\vec{b}\)，如果以点\(O\)为起点，分别作\(\overrightarrow{OA}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{OB}=\vec{b}\)，那么以\(\overrightarrow{OA}、\overrightarrow{OB}\)为邻边的平行四边形\(OACB\)的对角线所表示的向量\(\overrightarrow{OC}=\vec{c}\)就定义为向量\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的和，记作 \(\overrightarrow{c}=\vec{a}+\vec{b}\)．求向量和的运算， 叫做 向 量 的 加 法 （ａｄｄｉｔｉｏｎｏｆｖｅｃｔｏｒｓ）．这种使用平行四边形作向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则（ｐａｒａｌｌｅｌｏｇｒａｍｌａｗ）．

三角形法则

  由于平行四边形对边平行且相等，有\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OB}=\vec{b}\)，因此求向量\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的和\(\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}\)，在\(\Delta OAC\)中就可以实现：若以\(O\)为起点作向量\(\overrightarrow{OA}=\vec{a}\)，再以\(A\)为起点作向量\(\overrightarrow{AC}=\vec{b}\)，则连接起点\(O\)与终点\(C\)得到向量\(\overrightarrow{OC}\)，它就是\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的和，记作 \(\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}\)．我们把这种作向量和的方法叫做向量加法的三角形法则．

向量加法满足交换律和结合律。

向量减法

  向量的减法是向量加法的逆运算。如果已知向量\(\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}\)，那么向量\(\vec b\)叫做向量\(\vec c\)与向量\(\vec a\)的差，记作\(\vec{b}=\vec{c}-\vec{a}\)．求向量差的运算，叫做向量的减法。

\[\vec a - \vec b=\vec a + (-\vec b). \]

实数与向量的乘法

  实数\(\lambda\)与向量\(\vec a\)的乘法\(\lambda \vec a\)是一个向量\(\vec{a'}\)，其模\(|\vec{a'}|\)为\(\lambda |\vec a|\)，当\(\lambda>0\)时，方向与\(\vec a\)相同，\(\lambda<0\)时，方向与\(\vec a\)相反。实数与向量的乘法满足如下公式：

\[ \begin{align} &(\lambda+\mu)\vec a=\lambda \vec a+\mu \vec a; \\ &\lambda(\mu \vec a)=\lambda \mu \vec a; \\ &\lambda(\vec a + \vec b)=\lambda \vec a + \lambda \vec b. \end{align} \]

  与非零向量\(\vec a\)同方向的单位向量叫做向量\(\vec a\)的单位向量，记作\(\vec{a_0}\)．
  向量的加法、减法以及实数与向量的乘法，统称为向量的线性运算（ｌｉｎｅａｒｏｐｅｒａｔｉｏｎ）．从一个或几个向量出发，通过线性运算得 到 的 新 向 量 称 为 原 来 那 些 向 量 的 线 性 组 合 （ｌｉｎｅａｒｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ）．

向量的数量积

设 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 是两个非零向量，定义 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 的数
量积（ｓｃａｌａｒｐｒｏｄｕｃｔ）:

\[\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\langle \vec{a},\vec{b} \rangle, \]

即\(\vec{a} \cdot \vec{b}\)是 \(\vec{a}\) 的模 \(|\vec{a}|\)、\(\vec{b}\) 的模 \(|\vec{b}|\)与\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的夹角\(\langle \vec{a},\vec{b} \rangle\)的余弦的乘积．
向量的数量积满足交换律、结合律和分配律。

向量的坐标表示

向量与直角坐标系统的点一一对应，向量\(\vec{a}\)可以用它的位置向量\(\overrightarrow{OA}\)终点的坐标来表示：

\[\vec{a}=(x,y). \]

向量的运算可使用向量的坐标运行来进行，对应的规则如下：
线性运算：

\[\begin{aligned} &(x_1,y_1)\pm (x_2,y_2)=(x_1 \pm x_2,y_1\pm y_2) \\ &\lambda(x,y)=(\lambda x,\lambda y). \end{aligned} \]

向量的模：

\[|\vec{a}|=|(x,y)|=\sqrt{x^2+y^2}. \]

向量的数量积：

\[\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1x_2+y_1y_2. \]

向量的夹角：

\[\cos \langle \vec{a}, \vec{b} \rangle = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{x_1y_1+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}. \]

复数

虚数单位

引入一个不同于实数的新数，称为虚数单位\(\mathrm{i}\)(\imaginary unit)，并规定

\[\mathrm{i}^2=-1, \mathrm{i}=\sqrt{-1} \]

更一般地，规定任意实数\(b\in {\mathbb {R}}\)与虚数单位\(\mathrm{i}\)的乘积记为\(b\mathrm{i}\)，并规定虚数单位与实数间的乘法满足交换律和结合律，即有，

\[(b\mathrm{i})^2=(b\mathrm{i})(b\mathrm{i})=b^2\mathrm{i}^2=-b^2, \]

复数定义与四则运算

一个实数\(a\)与形如\(b\mathrm{i}\)的数相加，规定把他们的和用实系数二项式的形式表示成\(a+b\mathrm{i}\)，称为一个复数，其中\((a、b\in \mathbb{R})\)，\(\mathrm{i}\)为虚数单位。
全体复数构成的集合表示为 \(\mathbb{C}\)。复数为0和复数相等遵循以下约定：

\[\begin{align} &（1）复数a+b\mathrm{i}=0(a、b\in \mathbb{R}) \Leftrightarrow a=0且b=0; \\ &（2）复数a+b\mathrm{i}=c+d\mathrm{i}(a、b、c、d\in \mathbb{R}) \Leftrightarrow a=c且b=d \\ \end{align} \]

复数加减法按多项式相加或相减，然后去括号与合并同类项，得到复数加减公式：

\[\begin{array}{r} (a+b\mathrm{i})\pm(c+d\mathrm{i}) = (a \pm c)+(b \pm d)\mathrm{i} \\ (a、b、c、d\in \mathbb{R}). \end{array} \]

复数乘法按多项式相乘，再用条件\(\mathrm{i}^2=-1\)化简后得复数乘法公式：

\[\begin{align}{r} (a+b \mathrm{i})(c+d \mathrm{i})=(a c-b d)+(b c+a d) \mathrm{i} \\ (a、b、c、d \in \mathbb{R}) . \end{align} \]

复数除法与实数一样是作为乘法的逆运算来定义的。复数\(a+b\mathrm{i}\)除以\(b+d\mathrm{i}\)商的形式以分式记为\(\frac{a+b\mathrm{i}}{c+d\mathrm{i}}\)，使用复数乘法进行演算，得复数除法公式：

\[\frac{a+b\mathrm{i}}{c+d\mathrm{i}}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm{i} \\ \\[5pt] (a、b、c、d\in \mathbb{R}，c+d\mathrm{i}\ne0). \]

复数幂运算就是若干相同复数相乘，记为\((a+b\mathrm{i})^n，n \in \mathbb{N}\)，非零复数的负指数幂\((a+b\mathrm{i})^{-n}=\frac{1}{(a+b\mathrm{i})^n}\)，并约定非零复数\((a+b\mathrm{i})^{0}=1\)。同底数冥的运行规则也适用复数，\((a+b\mathrm{i})^{m}(a+b\mathrm{i})^{n}=(a+b\mathrm{i})^{m+n}, [(a+b\mathrm{i})^{m}]^n=(a+b\mathrm{i})^{mn}, (m,n \in \mathbb{Z}).\)
因为复数的加法和乘法的运算律都成立，可以推算适用实数的完全平方公式及平方差公式等的乘法公式也适用于复数。

复数的实部、虚部与共轭

用多项式表达的复数\(a+b\mathrm{i} \ (a、b \in \mathbb{R})\)称为复数的代数形式，其中的实数\(a\)和\(b\)分别叫做该复数的实部（real part）和虚部（imaginary part）。复数常用单个字母（一般比较常见的是\(z\)）来表示，此时它的实部和虚部分别记作\(\mathrm{Re}\ z，\mathrm{Im}\ z.\)复数的虚部为0时，复数是一个实数；复数的虚部不为0时，复数是一个虚数，且此时若实部为0，则为一个纯虚数。实数是复数的一个真子集，即\(\mathbb{R}\subset\mathbb{C}\)。
复数可以按以下方式分类：

\[复数(z=a+b\mathrm{i},\ (a、b \in \mathbb{R}) \begin{cases} 实数 (b = 0)\\ 虚数(b \ne 0) \\ 纯虚数(a=0，b \ne 0) \end{cases} \]

实部相同而虚部互为相反数的一对复数叫做共轭复数（conjugate complex number），也称这两个复数互为共轭，或者说其中的一个数是另外一个数的共轭复数。一个复数\(z\)的共轭复数记为\(\bar{z}\)。共轭复数有如下性质：

\[\begin{align} &（1）\bar{\bar{z}}=z，\\ &（2）\overline{z_1 \pm z_2}=\bar{z_1}\pm\bar{z_2}，\overline{z_1 z_2}=\bar{z_1}\bar{z_2}，\\ &（3）\overline{(\frac{z_1}{z_2})}=\frac{\bar{z_1}}{\bar{z_2}}，z_2 \ne 0. \end{align}\]

复平面与复数的坐标表示

复平面

在平面上建立直角坐标系，以坐标为\((a,b)\)的 点\(Z(a,b)\)表示复数\(z=a+b\mathrm{i}\)，就可在平面上的点的集合与复数集合之间建立一个一一对应．这样用来表示复数的平面叫做复平面 （ｃｏｍｐｌｅｘｐｌａｎｅ）．

实轴与虚轴

  在复平面上，\(x\)轴上的点具有\((a,0)\)形式的坐标，从而对应的都是实数，所以把\(x\)轴叫做实轴（ｒｅａｌａｘｉｓ）；同理，\(y\)轴上的点（除坐标原点外）都对应纯虚数，所以把\(y\)轴叫做虚轴（ｉｍａｇｉｎａｒｙａｘｉｓ）．坐标原点表示实数０．

复数的向量表示

  向量和复数都可以与直角平面坐标系统的点一一对应，因此在复数与平面向量之间可以借助平面坐标系统建立起一一对应。
  复数\(z=a+b\mathrm{i}(a,b\in \mathbb{R})\)在复平面上对应坐标为\((a,b)\)的点\(Z\)，而点\(Z\)又对应于平面向量\(\overrightarrow{OZ}=(a,b)\)，从而复数\(z=a+b\mathrm{i}\)对应于平面向量\(\overrightarrow{OZ}=(a,b)\)．有了这些对应，我们可以把复数\(z=a+b\mathrm{i}\)方便地看作是复平面上的点\(Z(a,b)\)或向量\(\overrightarrow{OZ}=(a,b)\)。
  平面上起点不在原点的向量所表示的复数是该向量相应的位置向量所表示的复数．上例说明，这个复数是向量终点对应的复数与起点对应的复数之差。
  两个复数的和所对应的向量就是原来两个复数所对应向量的和, 两个复数的差所对应向量是两个复数对应向量的差.

复数的模

复数\(z=a+b\mathrm{i}(a、b\in\mathbb{R})\)在复平面上所对应的点\(Z(a,b)\)到
原点的距离\(\sqrt{a^2+b^2}\)，叫做复数\(z\)的模（ｍｏｄｕｌｕｓ），记作\(|z|\)．这
样，复数\(z=a+b\mathrm{i}(a、b\in\mathbb{R})\)的模是:

\[|z|=|a+b \mathrm{i}|=\sqrt{a^2+b^2}. \]

复数的模与其对应向量的模是一致的，因此也称为复数对应向量的模。 复数的模有如下性质：

\[\begin{aligned} &|z|=|\overline{z}|,z|\overline{z}|=|z|^2; \\ &|z_1z_2|=|z_1||z_2|;\\ &|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}|. \\ &|z_1|+|z_2|\ge|z_1+z_2|;\\ &|z_1-z_2|=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}=|Z_1Z_2|=|\overrightarrow{Z_1Z_2}|.\\ &(z_1=a+b \mathrm{i},z_2=c+d \mathrm{i}) \\ &(z,z_1,z_2 \in \mathbb{C}, a,b,c,d \in \mathbb{R}) \end{aligned} \]

复数的三角形式

复数的幅角

复数\(z=a+b\mathrm{i}(a、b\in\mathbb{R})\)对应着复平面上的一个点\(Z(a,b)\)．我们把以原点\(O\)为顶点、\(x\)轴的正半轴为始边、 射线\(\overrightarrow{OZ}\)为终边的角\(\theta\)，叫做复数\(z\)的辐角（ａｒｇｕｍｅｎｔ），记作\(\mathrm{Arg}\ z\)．在复数|z|的所有辐角中，满足\(0\le\theta\le 2\pi\)的辐角\(\theta\)称为 \(z\) 的辐角主值，记作\(\mathrm{arg}\ z\)．

复数的三角表示

复数的任意一个辐角\(\theta\)与复数的模\(r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)一起， 就完全确定了复数\(z=a+b \mathrm{i}\), 因此： $$ a=r\cos \theta, b=r\sin \theta $$ 于是:

\[z=r(\cos \theta+\mathrm{i}\sin \theta). \]

复数的这种表示形式叫做它的三角形式.

复数的三角表示乘除法

两个复数相乘，其积的模等于模的积，积的辐角等于辐角的和；两个复数相除（除数不为零），其商的模等于模的商，商的辐角等于辐角的差．

\[ \begin{aligned} &z_1=r(\cos \alpha + \mathrm{i}\sin \alpha), z_2=s(\cos \beta + \mathrm{i}\sin \beta); \\ &r=|z_1|\ge 0,s=|z_2| \ge 0; \\ &z_1z_2=rs[\cos (\alpha+\beta) + \mathrm{i}\sin (\alpha+\beta)]; \\ &\frac{z_1}{z_2}=\frac{r}{s}[\cos (\alpha-\beta) + \mathrm{i}\sin (\alpha-\beta)](z_2\neq 0). \\ \end{aligned} \]

复数的三角表示乘方和开方

一个复数的n次幂的模是底数模的n次幂， 而其辐角是底数辐角的n倍．一个复数开n次方，方
根的模是被开方数模的n次方根，而方根的辐角是被开方数辐角的n分之一（不精确，见公式）。

\[ \begin{aligned} &z=r(\cos \alpha + \mathrm{i}\sin \alpha), r=|z|\ge 0; \\ &z^n=r^n(\cos n\alpha + \mathrm{i}\sin n\alpha); \\ &\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}(\cos \frac{\alpha+2k\pi}{n} + \mathrm{i}\sin \frac{\alpha +2k\pi}{n}), k =0,1,2, \ldots ,n \end{aligned} \]

复数的指数表示

复变量指数

复变量指数函数定义为无穷级数：

\[e^z=1+z+\frac{1}{2!}z^2+\cdots+\frac{1}{n!}z^n+\cdots,(z=x+y \mathrm{i}). \]

欧拉公式

根据复变量指数函数的定义，当 \(z=y \mathrm{i}\) 为虚数时，根据得到的级数推算:

\[\begin{align} e^{y \mathrm{i}}&=1+y \mathrm{i} + \frac{1}{2!}(y \mathrm{i})^2+\frac{1}{3!}(y \mathrm{i})^3+\cdots+\frac{1}{n!}(y \mathrm{i})^n+\cdots \\ &=1+y \mathrm{i}-\frac{1}{2!}y^2-\frac{1}{3!}y^3 \mathrm{i}+\frac{1}{4!}y^4+\frac{1}{5!}y^5 \mathrm{i}-\cdots \\ &=(1-\frac{1}{2!}y^2+\frac{1}{4!}y^4 -\cdots )+(y-\frac{1}{3!}y^3 +\frac{1}{5!}y^5 -\cdots)\mathrm{i} \\ &=\cos y + \mathrm{i} \sin y. \end{align} \]

\(y\) 换为 \(x\) 得到欧拉公式：

\[e^{x \mathrm{i}}=\cos x + \mathrm{i}\sin x. \]

复数的指数表示

根据复变量指数函数的定义可知

\[e^{x \mathrm{i}}=\cos x + \mathrm{i} \sin x . \]

可得复数的指数表示形式：

\[z = \rho(\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta) = \rho e^{\mathrm{i} \theta} \]

\(z=\rho e^{\mathrm{i} \theta}\) 就是复数的指数表示，其中 \(\rho=|z|\) 是 \(z\) 的模, \(\theta=\mathrm{arg} \ z\) 是 \(z\) 的幅角。

\[\begin{array}{l} \left\{\begin{matrix} \cos x=\frac{e^{x \mathrm{i}}+e^{-x \mathrm{i}}}{2}, \\ \\ \sin x=\frac{e^{x \mathrm{i}}-e^{-x \mathrm{i}}}{2 \mathrm{i}} \\ \end{matrix}\right. \\ \\ e^{z_1+z_2}=e^{z_1}\cdot e^{z_2}. \\ \\ e^{x+y \mathrm{i}}=e^x(\cos y+\mathrm{i}\sin y) \end{array} \]

复指数函数 \(e^z\) 在 \(z=x+y \mathrm{i}\) 处的值就是模为 \(e^x\) 、复角为 \(y\) 的复数。