博弈论（公平组合游戏）

1. 公平组合游戏与 Nim 游戏

1.1 公平组合游戏

定义公平组合游戏满足下列性质：

• 人数 $2$ 位，且双方足够聪明。
• 行动与先后手无关。
• 状态不能多次到达。

1.2 Nim 游戏

Nim 游戏：

有 $n$ 堆石头，每次选择一堆并拿走 $x(0<x)$ 个石头，拿到最后一个石头的人胜。问先手是否有必胜策略。

2. 博弈图与 Nim 和

2.1 博弈图

假设有 $3$ 堆石头 $\{1,2,2\}$，博弈图如下：

(仅展示部分)

定义转移为图中的这些边，状态为这些点。显然，对于必胜状态和必败状态：

• 如果儿子节点都为必胜状态，则这个节点为必败状态。
• 如果儿子节点有必败状态，则这个节点为必胜状态。
• 叶子节点为必败状态。

博弈图的性质：是一张 DAG。

那么 topo 一下就可以了。

2.2 Nim 和

发现一件这样的事情，博弈图的点数高达 $\prod a_i$ 级别个，时间复杂度高达 $O(\prod a_i)$。肯定需要优化！

其实，如果 $\operatorname{xor}^n_{i=1}a_i=0$，则必败，否则必胜。

2.3 对 Nim 和的证明

首先我们对博弈图的分析可以发现，终止状态为 $(0,0,\cdots,0)$。此时 $\operatorname{xor}^n_{i=1}a_i=0$ 必败。

如果此时 $\operatorname{xor}^n_{i=1}a_i=0$，可以发现如果下一次操作仍然必胜，$\operatorname{xor}^n_{i=1}a_i$ 仍然为 $0$，设改变的数为 $a_i\gets a'_i$，那么 $a'_i=a_i$，矛盾。

如果此时 $\operatorname{xor}^n_{i=1}a_i=k(k\ne0)$，则修改 $a_i$ 为 $a'_i=k$。一定存在 $a_i\ge a_i\operatorname{xor}k$。

所以当 $\operatorname{xor}^n_{i=1}a_i=0$，则必败，否则必胜。

3. 图游戏与 SG 函数

3.1 图游戏

在一个有向无环图中，只有一个起点，上面有一个棋子，两个玩家轮流沿着有向边推动棋子，不能走的玩家判负。

3.2 SG 函数

定义 $SG(x)=\operatorname{mex}\{SG(son)\}$。

3.3 SG 定理

对于所有的开始节点集合 $begin$：

SG 定理（Sprague–Grundy Theorem，Sprague–Grundy 定理）：当且仅当 $\mathbf{\operatorname{xor}^n_{i=1}SG(begin)=0}$ 时，这个游戏是先手必败的。

4. 反常游戏

4.1 反常游戏

判定结果与原游戏相反，其余不变的游戏叫做反常游戏。

4.2 反 Nim 游戏

反 Nim 游戏：

有 $n$ 堆石头，每次选择一堆并拿走 $x(0<x)$ 个石头，拿到最后一个石头的人败。问先手是否有必胜策略。

4.3 反 Nim 游戏 结论

当 $a_i=1$ 时，$n$ 为偶数必胜，$n$ 为奇数必败。

当存在 $a_i> 1$，如果 $\operatorname{xor}^n_{i=1}a_i\ne 0$ 必胜，否则必败。