CRT&&EXCRT学习笔记
这是个大坑，今天填了，本来应该好久以前就会的（但硬是没学）
关于CRT
CRT就是中国剩余定理，是一个没什么泛用性但是偶尔会考的东西
（相比之下没怎么考过的欧拉函数就显得比较惨）
其中mi两两互质，求最小的x
首先构造M为所有mi的乘积，然后Mi为M/mi，易得Mi和mi互质，
因此必有bi使Mi*bi = 1（mod mi） 即bi为模mi意义下Mi的逆元，
所以可以得到Mi*bi*ai = ai（mod mi）
把所有Mi*bi*ai相加就是一个合法解x（这是一个没有证的东西）
为了使x为最小正整数，所以x还要模mi的LCT（不是指LINK-CUT-TREE）
即x = （x%M+M）%M（因为mi两两互质所以LCT就是M）
愉快。
Luogu P3868 猜数字
裸体板子，式子移个项就是CRT
但是出题人很鹅心，要用龟速乘处理一个爆longlong的点，还有就是要时刻注意逆元的正负和大小
对于一个最小正整数逆元可以x[i] = (x[i]%m[i] + m[i]) % m[i]（相当于调整EXGCD中x和y）
丢人蒟蒻把乘的式子写错了（快滚快滚）
#include<bits/stdc++.h> using namespace std ; const int MAXN = 20; long long K,a[MAXN],Mi[MAXN],M,m[MAXN],ans,x[MAXN]; void exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y){ if(b==0){ x=1,y=0; return; } exgcd(b,a%b,x,y); long long xx=x,yy=y; x=yy; y=xx-(a/b)*yy; return ; } long long inv(long long a,long long mod){ long long xxx=0,y=0; exgcd(a,mod,xxx,y); return xxx; } long long qm(long long a,long long b,long long mod){ long long ret=0; while(b){ if(b&1) (ret+=a)%=mod; a=(a+a)%mod; b>>=1; } return ret; } int main(){ ios::sync_with_stdio(false); cin>>K; for(int i=1;i<=K;i++){ cin>>a[i]; } for(int i=1;i<=K;i++){ cin>>m[i]; } M=1; for(int i=1;i<=K;i++){ M *= m[i]; } for(int i=1;i<=K;i++){ Mi[i] = M / m[i]; } for(int i=1;i<=K;i++){ x[i] = inv(Mi[i],m[i]); // cout<<"Mi[i] = "<<Mi[i]<<"m[i] = "<<m[i]<<endl; // cout<<"x[i] = "<<x[i]<<endl; x[i] = (x[i]%m[i] + m[i]) % m[i]; } for(int i=1;i<=K;i++){ ans += qm(qm(a[i],Mi[i],M),x[i],M); ans %= M; } // cout<<"M = "<<M<<endl; // for(int i=1;i<=K;i++){ // cout<<"m"<<i<<" = "<<m[i]<<"M"<<i<<" = "<<Mi[i]<<" "<<endl; // } // for(int i=1;i<=K;i++){ // cout<<"x"<<i<<" = "<<x[i]<<" "<<endl; // } cout<<ans<<endl; return 0; }
//凝聚SB气息的调试信息...
这个是CRT，只适用于m两两互质的情况，如果m没有任何特殊条件呢？
这就是EXCRT了
关于EXCRT
把EXCRT要干的的事情用式子写出来就是
其中mi不一定两两互质，求最小的正整数解x
网上看了几个版本，有一种合并的求x方式，同机房几个大佬都写过了，这里不再赘述
但有一种容易理解的写法（niiick的博客），感觉非常好
大概是这样的：
对于第一个式子解为a[1]%m[1]（是啊仔细想想）
如果对于前k-1个式子已经有了一个最小非负整数解x，并且设M为前k-1个m的乘积，
那么对于前k-1个式子来说，所有解x的表达式为 {x(all)} = x + O * M (O为整数)
现在要用这个表达式，找一个解x，使对于前k个式子来说，x = a[i] (mod m[i]) (1<=i<=k)
（我这种暴力选手看到这里直接想向上枚举了，但是经验告诉我们不能乱搞）
可以把对于前k-1个式子都合法的那个x叫做x0（没有Markdown原谅下⑧）
那么我们要求x0 + t * M = a[k] (mod m[k])
变形为t * M + O * m[k] = a[k] - x0 (O为任意整数系数）
首先判断a[k]-x0是不是gcd(M,m[k])的倍数，不是则整个方程式无解
是则EXGCD求解t，
然后处理t使其最小正整数（与m[k]交易），
然后x += t * M，处理M，接着处理下一个式子
最后全部式子处理完之后得到答案x
也比较愉快。去看题
Luogu P4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）
数据范围比CRT大多了，同时观察到a和b的给出方式利于在线处理
还有一堆小细节要处理，要乘什么，式子表示的是不是对的，
当前系数表示的东西是什么，怎么维护才是正确的
这一步要不要取模，balabala，还有，HAVE FUN DEBUGING
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN = 100010; long long n,ai[MAXN],bi[MAXN]; long long qm(long long a,long long b,long long mod){ long long ret=0; while (b){ if(b&1) (ret += a) %= mod; a = (a+a) % mod; b>>=1; } return ret; } long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y) { if(b==0){x=1;y=0;return a;} long long gcd=exgcd(b,a%b,x,y); long long tp=x; x=y; y=tp-a/b*y; return gcd; } long long excrt() { long long x,y,k; long long M=bi[1],ans=ai[1]; for(int i=2;i<=n;i++) { long long a=M,b=bi[i],c=(ai[i]-ans%b+b)%b; long long gcd=exgcd(a,b,x,y),bg=b/gcd; // if(c%gcd!=0) return -1; x=qm(x,c/gcd,bg); ans+=x*M; M*=bg; ans=(ans%M+M)%M; } return (ans%M+M)%M; } signed main(){ ios::sync_with_stdio(false); cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++){ cin>>bi[i]>>ai[i]; } cout<<excrt()<<endl; return 0; }
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