卡特兰数学习笔记//0721

孩子上午上课睡着了 。。。自学一会

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前言

卡特兰数是一个数列，有时出现在组合数学问题中

一般情况下卡特兰数从第1位开始（第零位为1）：1，1，5，14 ，42， 132， 429，1430....

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对于卡特兰数有个网格图模型，从中可以得到重要公式：（因为我从别人oj上盗的图所以就是[n,m]的，但是实际上应该是[n,n]的）

　　

对于上面这个图来说，走到[n,n]但又不越过y=x的方案数即为第n个卡特兰数，

有那种栈的解释，但图更好直观理解。

明显走到[n,n]而不考虑越界的方案数有C(2n,n)种，排除的话，可以考虑转化，

对于每条越过y=x的路径，第一次越出之后的部分全都沿着y=x+1对称翻转，得到等效的路径，

而且这些路径的方案数可以直接计算为从(0,0)走到(n-1,n+1)，即C(2n,n-1)

合法的路径数即为C(2n,n)-C(2n,n-1)，得到第一个重要公式，即f[n] = C(2n,n) - C(2n,n-1)；

同时你可以A一道题叫做bzoj3907

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std ;

struct Node{
    int data[2000],len;
    memset(data,0,sizeof data);
    len = 0;
}a;
const int base = 10;
Node operator * (Node a,int b){
    for(int i=1;i<=a.len;i++){
        a.data[i] *= b;
        a.data[i+1] += a.data[i]/base
        a.data[i] %= base;
    }
    while(a.data[a.len+1]){
        ++a.len;
        a.data[a.len+1] += a.data[a.len]/base;
        a.data[a.len] %= base;
    }
    return a;
}

Node operator / (Node a,int b) {
    int res=0;
    for(int i=a.len;i>=1;i--){
        res = res*base + a.data[i];
        a.data[i] = res/base;
        res %= base;
    }
    while(!a.data[a.len]) a.len--;
    return a;
}

Node operator - (Node a,Node b){
    int upl = max(a.len,b.len);
    for(int i=1;i<=upl;i++){
        if(a.data[i] < b.data[i]){
            a.data[i]+=base;
            --a.data[i+1];
        }
        a.data[i]-=b.data[i];
    }
    return a;
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        
    }
}