【数论】矩阵加速
阅读本文之前 你应该有以下知识背景
矩阵乘法法则 && 矩阵快速幂 && 小学数学水平 && 普及组代码能力 && 普及组思维能力
矩阵加速的本质是一个用了玄学优化的递推
根据这个解释 我们可以首先知道它是一个递推 //23333
普通的递推是通过不断f[i] = f[i-x] (某种运算)f[i-y]来完成的
举个简单例子 斐波那契数列 f[x]=f[x-1]+f[x-2]
那么由于f[x]由f[x-1]+f[x-2]决定 所以我们在求f[x] 之前必须知道f[x-1]和f[x-2]
当然了普通人都是这么想的 但是到了矩阵手里这玩意就不是这样了
想像一个过程 一个矩阵乘了自己好几遍之后 再乘以一个已给出的矩阵 就是你的答案
对于斐波那契来说就是 (一个矩阵)^k * (1,1) =answer
wow听起来很疯狂但是就是矩阵加速
怎么做矩阵加速？
首先来看斐波那契的矩阵加速//注意 本人习惯使用竖着的f[x][2]
你把递推边界放在一个矩阵里{1,1}然后乘以{{0,1}，{1,1}}//这个怎么来的待会会说
得到{1,2}
你再试几组 就会发现每次都会往后走一个 即{ f[x-2],f[x-1] } --->{ f[x-1],f[x] }
你可能会说这不是比递推还慢？
但是递推能快速幂吗？ 抱歉 矩阵能
所以你要递推n次 就求一个{{0,1},{1,1}}^n 然后把它乘以{1,1}
那么问题转化为 怎么构造转移矩阵
其实也就是在每个位置上体现递推规则
[x-2]->[x-1] 所以是{0,1}
[x-1]->[x]所以是{1,1}（[x] 和[x+1]相加）
OK讲解完毕 配几道题
斐波那契：
#include<bits/stdc++.h> #define ll long long #define p 1000000007 using namespace std; ll k,n,s; struct mat{ ll m[3][2]; }f;//ans列 struct smat{ ll m[3][3]; }spd,e; smat smul(smat x,smat y){ smat r; for(int i=1;i<=2;i++){ for(int j=1;j<=2;j++){ r.m[i][j] = 0; } } for(int i=1;i<=2;i++){ for(int j=1;j<=2;j++){ for(int k=1;k<=2;k++){ r.m[i][j] += x.m[i][k] * y.m[k][j] %p; r.m[i][j] %=p; } } } return r; } mat mul (smat x,mat y){ mat r; for(int i=1;i<=2;i++){ r.m[i][1]=0; } for(int i=1;i<=2;i++){ for(int k=1;k<=2;k++){ r.m[i][1] += x.m[i][k] * y.m[k][1] %p; r.m[i][1] %=p; } } return r; } smat pow(smat x,ll k){ smat ans = e; while (k>0){ if(k&1){ ans=smul(ans,x); } x=smul(x,x); k>>=1; } return ans; } int main(){ spd.m[1][2] = spd.m[2][1] = spd.m[2][2] = 1; e.m[1][1] = e.m[2][2] = 1; f.m[2][1] = f.m[1][1] = 1; cin>>n; smat vf=pow(spd,n-2); f=mul(vf,f); cout<<f.m[2][1]; return 0; }
其实大同小异吧。。。自己看代码
#include<bits/stdc++.h> #define ll long long #define p 1000000007 using namespace std; ll k,n,s; struct mat{ ll m[4][2]; }f;//ans列 struct smat{ ll m[4][4]; }spd,e; smat smul(smat x,smat y){ smat r; for(int i=1;i<=3;i++){ for(int j=1;j<=3;j++){ r.m[i][j] = 0; } } for(int i=1;i<=3;i++){ for(int j=1;j<=3;j++){ for(int k=1;k<=3;k++){ r.m[i][j] += x.m[i][k] * y.m[k][j] %p; r.m[i][j] %=p; } } } return r; } mat mul (smat x,mat y){ mat r; for(int i=1;i<=3;i++){ r.m[i][1]=0; } for(int i=1;i<=3;i++){ for(int k=1;k<=3;k++){ r.m[i][1] += x.m[i][k] * y.m[k][1] %p; r.m[i][1] %=p; } } return r; } smat pow(smat x,ll k){ smat ans = e; while (k>0){ if(k&1){ ans=smul(ans,x); } x=smul(x,x); k>>=1; } return ans; } int main(){ spd.m[1][2] = spd.m[2][3] = spd.m[3][1] = spd.m[3][3] = 1; e.m[1][1] = e.m[2][2] = e.m[3][3] = 1; f.m[3][1] = f.m[2][1] = f.m[1][1] = 1; ll wow; cin>>wow; for(int i=1;i<=wow;i++){ cin>>n; smat vf=pow(spd,n-3); f=mul(vf,f); cout<<f.m[3][1]<<endl; f.m[3][1] = f.m[2][1] = f.m[1][1] = 1; } return 0; }
本文是针对有快速幂基础的
所以没有那么多解释
