中二羊专题：栋栋吃糖果

U163898

题目

题目背景

栋栋参加比赛拿下了一等奖，老师奖励了很多糖果。

题目描述

一共有 $m$ 种糖果，其中第i种糖果的数量为 $m_i$ 。栋栋吃糖时会获得快乐值，并且他喜欢换着口味吃糖。当栋栋吃下第一个糖果时快乐值为 $0$ ，接下来，每吃一个不同口味的糖果(与上一个糖不同)，快乐值就会增加 $5$ 点，而连续吃下 $k$ 个相同口味的糖果，快乐值就会减少 $3\ast (k-1)$ 点。栋栋已经下定决心要吃完所有的糖果。现在他想知道如何安排吃糖的顺序才能使快乐值最大。请你求出最大快乐值。

输入格式

输入分两行
第一行输入整数 $m$
第二行输入 $m$ 个整数，分别表示每种糖果的数量 $m_i$ 。

输出格式

输出栋栋能获得的最大快乐值

输入输出样例

样例1

输入1

3
3 1 1

输出1

20

样例2

输入2

3
4 1 1

输出2

17

说明/提示

对于$100\mathrm{\%}$的数据，有$1<m\le 1000$ ， $1\le m_i\le 10000$ ， $1<m\le 1000$，$1\le m_i\le 10000$。保证结果在int范围内。

题解

定义

此题是广义鸽巢原理的一道例题。
先说一下什么是鸽巢原理：
定义：如果 $k+1$ 个或更多个物体放入 $k$ 个盒子，那么至少有一个盒子包含了 $2$ 个或更多的物体。此定理也被称为狄利克雷抽屉原理。
但是此题用到的是广义鸽巢原理。
定义：如果 $N$ 个物体放入 $k$ 个盒子，那么至少有一个盒子包含了至少 $\lceil {\displaystyle \frac{N}{k}}\rceil$ 个物体。
举个例子，在100人中，至少有 $\lceil {\displaystyle \frac{100}{12}}\rceil =9$ 个人的生日在同一个月。

---

看完题后，我们会发现，有许多东西我们都不需要。我们现在需要的是 $N$ 和 $k$ 。
用总糖果数量减去最大数量糖果类型可以得出其它糖果数量综合。
所以处理情况是这样的：

...
signed main(){
	int m,md=0,ans=0,sum,a;
	scanf("%d",&m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d",&a);
		ans+=a;
		md=max(md,a);
	}
	ans-=md;
	...
	return 0;
}

当我们发现吃糖时不用减少快乐值时，即吃重复糖最多只吃一次时：

...
	if(ans-md>=-1){
		printf("%d",(ans+md-1)*5);
		return 0;
	}
...

当我们发现必须减少快乐值时：
如果不计损失的快乐值，那么就只有 $ans\ast 10$ 的快乐值了。
我们可以这么理解：
我们已经知道了其它类糖果总数量为 $ans$ ，最大数量糖果类总数量为$md$ ，所以我们把可以看作有 $md-1$ 个盒子要放下 $ans$ 个糖果。（关键思路）
所以代码就出来了，如果求总和会要用到等差数列公式： $\frac{n(a+n)}{2}$ 。（注意此处等差数列公式是 $1+2+...+n-1+n$ ）

...
	const int P1=ceil(md/(double)(ans+1));
	const int P2=md/(ans+1);
	const int P3=md%(ans+1);
	sum-=3*((ans+1-P3)*(P2-1)*P2/2+P3*P1*(P1-1)/2);
	printf("%d",sum);
...

代码（不建议看）

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstdio>
using std::max;
signed main(){
	int m,md(0),ans(0),sum,a;
	scanf("%d",&m);
	for(register int i(1);i<=m;i=-~i){scanf("%d",&a);md=max(md,a),ans+=a;}
	ans-=md;
	if(ans-md>=-1){
		printf("%d",(ans+md-1)*5);
		exit(0);
	}
	sum=ans*10;
	const int P1=ceil(md/(double)(ans+1));
	const int P2=md/(ans+1);
	const int P3=md%(ans+1);
	sum-=3*((ans+1-P3)*(P2-1)*P2/2+P3*P1*(P1-1)/2);
	printf("%d",sum);
	exit(0);
	return 0;
}

后记：几年前的东西，看个乐子。