魔法训练（中二羊）

魔法训练(train.cpp)

题面

【题目描述】

ZEY做梦梦到自己穿越到了一个魔法世界。但是他却不知道运用魔法的技巧，于是他找到了隐居的魔法大师学技巧。
大师一挥手，地上就升起了一排石柱，这些石柱的高度从右往左正好是 $1,2,3,......,n$ 。大师让ZEY运用魔法将两个石柱交换位置，并规定了得分标准：当ZEY的所有交换操作结束后，对于任意第 $i$ 个石柱和第 $j$ 个石柱，只要满足 $i<j$ 且 $h_{[i]}>h_{[j]}$ ，就可以的一分。ZEY发现，每交换一次石柱就会消耗 $1$ 点魔法，而他最多只有 $m$ 点魔法，ZEY想知道他最多能得多少分。

【输入说明】

输入文件名为 train.in
输入为两个整数，分别是 $n$ 和 $m$ ，两个整数用空格隔开。

【输出说明】

输出文件名为 train.out
输出一个整数，表示ZEY的最高得分。

输入样例1：

4 1

输出样例1：

5

输入样例2：

4 10

输入样例2：

6

【样例说明】

对于样例1，交换 $1$ 和 $4$ ，石柱变为 $4,3,2,1$ ，可以得 $5$ 分。
对于样例2，魔力足够将其换为 $4,3,2,1$ ，得 $6$ 分。

【数据范围】

对于 $30$ 的数据， $1\le n\le 100$ ， $1\le m\le 100$ 。
对于 $100$ 的数据， $1\le n\le {10}^9$ ， $1\le n\le {10}^9$ 。

题解

本题时间复杂度正解： $O(N)$ 。
本题算法正解：不需要循环，递归。只需要1次判断。
本题算法标签：贪心。
本题贪心思路：每一次交换首尾。
证明方式：
对于数列： $1,2,3,......,i,i+1,i+2,......,j,j+1,......n$ 中，当交换 $i$ 和 $j$ 时，得到的数列为： $1,2,3,......,j,i+1,i+2,......i,j+1,j+2,......n$，得分段为 $i-j$ 中，每交换一次得分为： $2\ast (j-i)-1$ 分。要让此方法尽可能的大，只有让 $i$ 尽可能小， $j$ 尽可能大。

代码实现方式：

1. 循环
   $O(M)$ 的算法会超时。洛谷评测机很快，所以可以得90分，但是在CCF上可能得不了高分，所以这个方法放弃。
2. 等差数列
   详见代码：

#include<cstdio>
signed main(){
	freopen("train.in","r",stdin);
	freopen("train.out","w",stdout);
	long long n,m;
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	long long ans=0;
	if(m>=(n>>1))ans=((n-1)*n)>>1;//特判，当m大于2/n时，直接用等差数列即可。
	else ans=((2*(n-1)-1+2*(n-2*m+1)-1)*m)>>1;
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}