[ AHOI 2013 ] 差异

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Description

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• \(n\le 5\times 10^5\)

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Solution

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自已 YY 了一种跟黄学长不太一样的 \(SA\) 做法 ......

先考虑两个 \(len\) 求和最后的结果。

显然\(suf(x)\) 会作为 \(j\) 被算 \(x-1\) 次，作为 \(i\) 被算 \(n-x\) 次，总共 \(n-1\) 次。

所有后缀长度是等差数列，直接求和。

所求化简为

\[(n-1)\times \frac{n\times(n+1)}{2}-2\times \sum_{1\le i<j\le n} lcp(i,j) \]

问题在后面的东西怎么求。

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考虑我们求两个串 \(i,j\ (rank[i]<rank[j])\) 的 \(lcp\) 怎么做。

答案是 \(\min_{k=i+1}^j\{height[k]\}\) 。

注意到原来两个串构成的区间长度至少为 \(2\) ，而因为计算 \(lcp\) 时是左开右闭，所以最后询问的就是：

\[(n-1)\times \frac{n\times(n+1)}{2}-2\times \sum_{i=1}^n\sum_{j=i}^n\min_{k=i}^j\{height[k]\} \]

也就是说我们需要求 \(height\) 数列所有区间 \(min\) 的和。

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黄学长的写法是，考虑每一个位置作为最小值所控制的区间，向左向右分别单调栈搞一下。

自己 yy 出了一个扫一遍的做法，也是单调栈。

栈内每个元素维护两个东西，一个是当前块代表的最小值，另一个是当前块覆盖的区间。

考虑每次新来一个长度时计算以该位置结尾的答案，如果这个位置大于前面的所有数，答案显然直接继承上一个位置每一个区间的答案，然后再加上当前位置长度为 \(1\) 的区间的答案。

在考虑一般的情况。显然一个位置只能替换掉后面一段的区间，所以单调栈维护的时候记录当前位置覆盖的区间数即可。

快速查询栈内总和比较简单，注意弹栈的时候需要在总和里去掉原来的答案。

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Code

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#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 500010
#define R register
using namespace std;
typedef long long ll;

char ss[N];

ll ans,h[N],s[N],sa[N],cnt[N],t1[N],t2[N];

inline void da(ll n,ll m){
  ll *x=t1,*y=t2;
  s[n++]=0;
  for(R ll i=0;i<m;++i) cnt[i]=0;
  for(R ll i=0;i<n;++i) ++cnt[x[i]=s[i]];
  for(R ll i=1;i<m;++i) cnt[i]+=cnt[i-1];
  for(R ll i=n-1;~i;--i) sa[--cnt[x[i]]]=i;
  for(R ll k=1,p=0;p<n&&k<=n;k<<=1,m=p){
    p=0;
    for(R ll i=n-k;i<n;++i) y[p++]=i;
    for(R ll i=0;i<n;++i) if(sa[i]>=k) y[p++]=sa[i]-k;
    for(R ll i=0;i<m;++i) cnt[i]=0;
    for(R ll i=0;i<n;++i) ++cnt[x[y[i]]];
    for(R ll i=1;i<m;++i) cnt[i]+=cnt[i-1];
    for(R ll i=n-1;~i;--i) sa[--cnt[x[y[i]]]]=y[i];
    swap(x,y); p=1; x[sa[0]]=0;
    for(R ll i=1;i<n;++i) x[sa[i]]=(y[sa[i]]==y[sa[i-1]]&&y[sa[i]+k]==y[sa[i-1]+k])?p-1:p++;
  }
  --n; h[0]=0;
  for(R ll i=0;i<n;++i) sa[i]=sa[i+1];
  for(R ll i=0;i<n;++i) x[sa[i]]=i;
  for(R ll i=0,p=0;i<n;++i){
    if(!x[i]) continue;
    if(p) --p;
    while(s[i+p]==s[sa[x[i]-1]+p]) ++p;
    h[x[i]]=p;
  }
}

struct s{ll x,cnt;}stk[N];

ll top=0;

int main(){
  scanf("%s",ss);
  ll n=strlen(ss);
  for(R ll i=0;i<n;++i) s[i]=ss[i];
  da(n,256);
  ans=n*(n-1)*(n+1)/2;
  for(R ll i=0,cnt=1,sum=0;i<n;++i,cnt=1){
    while(top&&stk[top].x>=h[i]){
      cnt+=stk[top].cnt;
      sum-=stk[top].x*stk[top].cnt;
      --top;
    }
    stk[++top].x=h[i];
    stk[top].cnt=cnt;
    sum+=stk[top].x*stk[top].cnt;
    ans-=sum*2;
  }
  printf("%lld\n",ans);
}