[ HAOI 2010 ] 订货

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Description

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某公司估计市场在第 \(i\) 个月对某产品的需求量为 \(U_i\) ，已知在第 \(i\) 月该产品的订货单价为 \(d_i\)。

上个月月底未销完的单位产品要付存贮费用 \(m\) ，假定第一月月初的库存量为零。

每月月初订购，订购后产品立即到货，供应市场，于当月被售掉则不必付存贮费。假设仓库容量为 \(S\)。

问如何安排这 \(n\) 个月订购计划，才能使成本最低？

• \(n\le 50,d_i\le 100,U_i\le 10^5,S\le 10^5\)

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Solution

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费用流建模。

源点表示供货，汇点表示售货。

原点向每个月连边，费用为单价，容量为无穷，代表无穷供货。

每个月向汇点连边，费用为 \(0\) ，容量为当月市场需求量，代表当月将卖出这个量的货物。

有趣的是贮藏这一条件转化。

如果 \(n^2\) 建边，即每个月都向后面的月份建边，可能会出现最后库存超过容量的情况。

转化一下，跨过若干个月，其实就代表第一个月留到了第二个月，第二个月留到了第三个月，以此类推，每个月都继承上个月的仓库。

于是相邻两个月之间建边，容量为仓库上限，费用为 \(m\) 。每一条边代表上一个月留给下一个月的货物。

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Code

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注意网络流建图时的反边，边表大小不要开小了。

#include<cmath>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 310
#define M 50010
#define R register
#define gc getchar
#define inf 1000000000
using namespace std;

inline int rd(){
  int x=0; bool f=0; char c=gc();
  while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}
  while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}
  return f?-x:x;
}

int n,m,s,t,tot=1,maxn;

int hd[N],pre[N],id[N],dis[N],w[N][N],sum[N];

struct edge{int f,w,to,nxt;}e[M];

inline void add(int u,int v,int f,int w){
  e[++tot].to=v; e[tot].w=w;
  e[tot].f=f; e[tot].nxt=hd[u]; hd[u]=tot;
}

bool vis[N];

queue<int> q;

inline bool spfa(){
  for(R int i=1;i<=maxn;++i) dis[i]=inf,vis[i]=0;
  dis[s]=0; q.push(s);
  while(!q.empty()){
    int u=q.front();
    q.pop(); vis[u]=0;
    for(R int i=hd[u],v;i;i=e[i].nxt)
      if(e[i].f&&(dis[v=e[i].to]>dis[u]+e[i].w)){
        dis[v]=dis[u]+e[i].w;
        pre[v]=u; id[v]=i;
        if(!vis[v]) vis[v]=1,q.push(v);
      }
  }
  return dis[t]<inf;
}

inline int mcmf(){
  int res=0,tmp;
  while(spfa()){
    tmp=inf;
    for(R int i=t;i!=s;i=pre[i]) tmp=min(tmp,e[id[i]].f);
    for(R int i=t;i!=s;i=pre[i]){
      e[id[i]].f-=tmp; e[id[i]^1].f+=tmp;
    }
    res+=tmp*dis[t];
  }
  return res;
}

int main(){
  n=rd();
  s=0; maxn=t=(n<<1)+1;
  for(R int i=1;i<=n;++i){
    add(s,i,1,0); add(i,s,0,0);
    add(n+i,t,1,0); add(t,n+i,0,0);
    for(R int j=1;j<=n;++j) w[i][j]=rd();
  }
  for(R int i=1;i<=n;++i)
    for(R int j=1;j<=n;++j) sum[j]+=w[i][j];
  for(R int i=1;i<=n;++i)
    for(R int j=1;j<=n;++j){
      add(j,n+i,1,sum[j]-w[i][j]);
      add(n+i,j,0,w[i][j]-sum[j]);
    }
  /*
  for(R int i=1;i<=n;++i)
    for(R int j=1;j<=n;++j){
      add(i,n+j,1,sum[j]-w[i][j]);
      add(n+j,i,0,w[i][j]-sum[j]);
    }
  */
  printf("%d\n",mcmf());
  return 0;
}