[ SPOJ RESTACK ] Restacking haybales

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Description

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给出一个环，每个位置有一个初值 \(A_i\)，有一个目标值 \(B_i\)，保证 \(\sum A_i=\sum B_i\)

每个位置只能把值分给隔壁的，每次分的量都会被计入答案。

• \(n\le 10^5,A_i,B_i\le 10^3\)

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Solution

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先考虑单向传递的情况。

如果一开始 \(1\) 号节点的个数就是 \(A_1\) 。

那么手玩以下可以发现第 \(i\) 个人给第 \(i+1\) 个人的数量是

\[S_i=\sum_{j=1}^i(A_j-B_j) \]

然后考虑在此基础上，\(n\) 号点给 \(1\) 号点的个数减少了 \(k\) 。

那么每一个位置的 \(S_i\) 都减少了 \(k\) 。

那么我们要最小化的其实是

\[\sum_{i=1}^n |S_i-k| \]

发现是中位数问题。

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Code

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#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 100010
#define R register
#define gc getchar
using namespace std;
typedef long long ll;

ll ans;

int n,cst[N];

inline int rd(){
  int x=0; bool f=0; char c=gc();
  while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}
  while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}
  return f?-x:x;
}

int main(){
  n=rd();
  for(R int i=1;i<=n;++i){cst[i]=rd();cst[i]-=rd();}
  for(R int i=2;i<=n;++i) cst[i]+=cst[i-1];
  cst[1]+=cst[n];
  sort(cst+1,cst+1+n);
  for(R int i=1;i<=n;++i) ans+=(ll)abs(cst[i]-cst[n/2]);
  printf("%lld\n",ans);
  return 0;
}