[ NOI 2002 ] 银河英雄传说

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Description

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有 \(n\) 列战场，每一列一开始只有一个战舰，编号就是对应的战场编号。

有 \(m\) 次操作：

• \(M_{i,j}\) ：把 \(i\) 所在的一整列接在 \(j\) 所在的一列的最后面。
• \(C_{i,j}​\) ：查询 \(i,j​\) 是否在同一列里，若在的话输出两者之间隔了多少个战舰。

注意每一列战场的战舰都是排成一列的。

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Solution

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带偏移量的并查集。

记录 \(d[x]\) 表示 \(x\) 到所在列头的一段上共有多少个战舰。

记录 \(sz[x]\) 表示 \(x\) 所在的一列有多少个战舰。

为了保证复杂度，我们在做的时候还是要路径压缩。

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但是 \(d[x]\) 怎么保证正确？递归的时候这么写就好了。

int find(int x){
    if(x==f[x]) return x;
    int fa=find(f[x]);
    d[x]+=d[f[x]];
    return f[x]=fa;
  }

注意是 \(d[x]+=d[f[x]]\)，因为之前可能路径压缩过。还有注意 $f[x] $ 的更新时间。

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合并的时候，记 \(f_i\) 表示 \(i\) 所在一列的列头，\(f_j\) 表示 \(j\) 所在的列头，有

\[d[f_i]=sz[f_j] \]

查询的时候，\(find\) 的过程中已经保证了两位置的 \(d\) 数组数值正确，所以在一列的两个战舰答案就是

\[|d[x]-d[y]|-1 \]

\(\\\)

Code

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#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 30010
#define R register
#define gc getchar
using namespace std;

inline int rd(){
  int x=0; bool f=0; char c=gc();
  while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}
  while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}
  return f?-x:x;
}

struct UFS{
  int f[N],d[N],sz[N];
  UFS(){for(R int i=1;i<N;++i){f[i]=i;sz[i]=1;}}
  int find(int x){
    if(x==f[x]) return x;
    int fa=find(f[x]);
    d[x]+=d[f[x]];
    return f[x]=fa;
  }
  inline void merge(int x,int y){
      int fx=find(x),fy=find(y);
      d[fx]=sz[fy]; f[fx]=fy; sz[fy]+=sz[fx];
  }
}ufs;

int main(){
  char op;
  int t=rd(),x,y;
  while(t--){
    op=gc(); while(!isalpha(op)) op=gc();
    if(op=='M'){x=rd();y=rd();ufs.merge(x,y);}
    else{
      x=rd(); y=rd();
      if(ufs.find(x)!=ufs.find(y)) puts("-1");
      else printf("%d\n",abs(ufs.d[x]-ufs.d[y])-1);
    }
  }
  return 0;
}