[ CodeForces 518 D ] Ilya and Escalator

\(\\\)

\(Description\)

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\(n\)个人排队进场，每一秒至多只能进去一个人，且只有当前排在第一位的人有 \(p\) 的概率进场。

现在问 \(t\) 秒之后场内人数的期望。

• \(n,t\le 2000\)

\(\\\)

\(Solution\)

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入门期望\(DP\)，但是边界问题还是很有趣的。

设 \(f[i][j]\) 表示第 \(i\) 秒已经入场 \(j\) 个人的概率，根据期望的定义，有

\[ans=\sum_{i=1}^n i\times f[t][i] \]

转移需要注意一下边界，下界只能从下界转移，上界转移自上界的时候不用乘概率

\[f[i][j]=\left\{ \begin{array}{ll}f[i-1][0]\times(1-p) & j=0\\f[i-1][j-1]\times p+f[i-1][j]\times (1-p) & 1\le j<n \\f[i-1][n]+f[i-1][n-1]\times p & j=n\end{array} \right.\ \ \ \]

\(\\\)

\(Code\)

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#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 2010
#define R register
using namespace std;

int n,t;

double p,ans,f[N][N];

int main(){
  scanf("%d%lf%d",&n,&p,&t);
  f[0][0]=1.0;
  for(R int i=1;i<=t;++i){
    f[i][0]=f[i-1][0]*(1.0-p);
    for(R int j=1;j<n;++j) f[i][j]=f[i-1][j-1]*p+f[i-1][j]*(1.0-p);
    f[i][n]=f[i-1][n]+f[i-1][n-1]*p;
  }
  for(R int i=1;i<=n;++i) ans+=(double)i*f[t][i];
  printf("%lf\n",ans);
  return 0;
}