[ TJOI 2010 ] 打扫房间

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Description

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给出一个$N\times M$ 的网格，一些格子是污点，求是否能用多个封闭的环路覆盖所有不是污点的格点。

封闭的环路覆盖的含义是，每条路径都必须是一个环，且每一个格点正好只被一条路径覆盖。图是四联通的。

• \(N,M\le 30\)

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Solution

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一开始以为是插头，后来发现只能做$50%$的数据......

将图黑白染色。注意到一个合法的图一定满足每个格点正好进出各一次。每个黑点只能由周围至多的四个白点进出，白点同理。

所以理论上应该是每个格点都正好达到，向一个异色格点流一股流，从一个异色个点流入一股流，且两个异色格点不为同一个点。

将问题转化一下，把白色格点流向黑色格点的流反向。

这样每个黑色格点正好流出两股流，每个白色格点正好流入两股流，我们再加上源汇，源向黑色点流量为 \(2\) ，白色点向汇流量为 \(2\) 。

这样就转化为满流的判定问题了。

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Code

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#include<cmath>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 910
#define R register
#define gc getchar
#define inf 2000000000
using namespace std;

inline int rd(){
  int x=0; bool f=0; char c=gc();
  while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}
  while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}
  return f?-x:x;
}

bool mp[N][N];
int n,m,s,t,g,tot,cnt,sum,hd[N],h[N],dp[N],num[35][35];

struct edge{int to,nxt,w;}e[N*100];

inline void add(int u,int v,int w){
  e[++tot].to=v; e[tot].w=w;
  e[tot].nxt=hd[u]; hd[u]=tot;
}

queue<int> q;

inline bool bfs(){
  memset(dp,0,sizeof(dp));
  dp[s]=1; q.push(s);
  while(!q.empty()){
    int u=q.front(); q.pop();
    for(R int i=hd[u],v;i;i=e[i].nxt)
      if(e[i].w&&!dp[v=e[i].to]){
        dp[v]=dp[u]+1; q.push(v);
      }
  }
  return dp[t];
}

int dfs(int u,int flow){
  if(u==t||!flow) return flow;
  R int res=0,tmp;
  for(R int &i=h[u],v;i;i=e[i].nxt)
    if(e[i].w&&(dp[v=e[i].to]==dp[u]+1)){
      tmp=dfs(v,min(e[i].w,flow-res));
      e[i].w-=tmp; e[i^1].w+=tmp; res+=tmp;
      if(res==flow) return flow;
    }
  return res;
}

inline int dinic(){
  int res=0;
  while(bfs()){
    memcpy(h,hd,sizeof(hd));
    res+=dfs(s,inf);
  }
  return res;
}


inline void work(){
  n=rd(); m=rd();
  cnt=g=s=sum=0;
  t=n*m+1; tot=1;
  memset(hd,0,sizeof(hd));
  char c;
  for(R int i=1;i<=n;++i)
    for(R int j=1;j<=m;++j){
      c=gc(); while(c!='.'&&c!='#') c=gc();
      mp[i][j]=(c!='#');
      num[i][j]=++cnt;
      if(c!='#') ++g;
      if((i+j)&1){
        if(mp[i][j]){add(s,cnt,2);add(cnt,s,0);sum+=2;}
      }
      else if(mp[i][j]){add(cnt,t,2);add(t,cnt,0);}
    }
  if(g&1){puts("NO");return;}
  for(R int i=1;i<=n;++i)
    for(R int j=1;j<=m;++j)
    if(mp[i][j]&&((i+j)&1)){
      if(i!=1&&mp[i-1][j]){add(num[i][j],num[i-1][j],1);add(num[i-1][j],num[i][j],0);}
      if(i!=n&&mp[i+1][j]){add(num[i][j],num[i+1][j],1);add(num[i+1][j],num[i][j],0);}
      if(j!=1&&mp[i][j-1]){add(num[i][j],num[i][j-1],1);add(num[i][j-1],num[i][j],0);}
      if(j!=m&&mp[i][j+1]){add(num[i][j],num[i][j+1],1);add(num[i][j+1],num[i][j],0);}
    }
    int ans=dinic();
    puts((ans==sum)?"YES":"NO");
}

int main(){
  int t=rd();
  while(t--) work();
  return 0;
}