[ Luogu 3927 ] Factorial

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\(Description\)

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求 \(N!\) 在 \(K\) 进制表示下末尾 \(0\) 的个数。

• \(N,K\in [1,10^{12}]\)

\(\\\)

\(Solution\)

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我又NC了

考虑何种情况\(K\)进制下会产生\(0\)，可以类比十进制下的情况，发现\(2\)和\(5\)的因数各一个就会产生一个\(0\)，这是因为\(10=2^1\times 5^1\)。类比的，我们将\(K\)分解质因数：

\[K=\prod_{i=1}^M p_i^{t_i} \]

那么构成一个\(0\)的代价就是对于分解得到的每一个\(p_i\)，消耗\(t_i\)个\(p_i\)。

然后对分解得到的每一个质因数求一下\(N!\)里含有多少个即可，这个套路很常见，每次加上\(N/p_i\)，同时让\(N=N/p_i\)至\(N=0\)即可，加入统计出的\(N!\)里含有\(g_i\)个\(p_i\)。

\[ans=\min_{i=1}^M \{\lfloor\frac{g_i}{t_i}\rfloor\} \]

\(\\\)

\(Code\)

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#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 1000010
#define R register
#define inf 9000000000000000ll
using namespace std;
typedef long long ll;

ll n,k,tmp,res,ans=inf,fac[N],cnt[N];

int main(){
  scanf("%lld%lld",&n,&k);
  tmp=sqrt(k);
  for(R ll i=2;i<=tmp;++i)
    if(k%i==0){
      fac[++fac[0]]=i;
      while(k%i==0) ++cnt[fac[0]],k/=i;
    }
  if(k!=1) fac[++fac[0]]=k,cnt[fac[0]]=1;
  for(R int i=1;i<=fac[0];++i){
    tmp=n; res=0;
    while(tmp) res+=tmp/fac[i],tmp/=fac[i];
    ans=min(ans,res/cnt[i]);
  }
  printf("%lld\n",ans);
  return 0;
}