[ HNOI 2015 ] 亚瑟王

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\(Description\)

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有\(N\)张有顺序排好的牌，每张牌有伤害值\(v_i\)和发动概率\(p_i\)，游戏进行\(K\)轮，每轮都按顺序扫描，按照以下规则：

• 若当前牌在前面的轮中未发动过：

  • 以\(p_i\)的概率发动，造成\(v_i\)的伤害，结束该轮；

  • 以\(1-p_i\)的概率不发动，扫描下一张牌，若是最后一张就结束该轮；

• 若当前牌在前面的轮中发动过：

  • 扫描下一张牌，若是最后一张就结束该轮。

求出这一套卡牌在这\(K\)轮游戏中能造成的总伤害的期望。 \(T\)组测试数据。

• \(T\in [1,444],N\in [1,220],K\in[0,132],p_i\in[0,1],v_i\in[0,1000]\)

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\(Solution\)

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• 每张牌造成的伤害是固定且独立的，根据期望的线性性，总的期望等于每张牌的期望之和，每张牌的期望等于这张牌发动的概率乘以造成的伤害。而伤害是固定的，所以只需要求出每张牌被发动的概率就好。

• 这个\(DP\)思路还是很可以的虽然最后还是抄了题解。他并没有将每一轮分开考虑，而是直接考虑全部的\(K\)轮。同时，他没有对每一张牌独立考虑，而是对一个前缀的所有牌放到一起考虑。设\(f[i][j]\)表示在\(K\)轮中，前\(i\)张牌中发动了\(j\)张的概率。有边界\(f[0][0]=1.0\)，然后递推的时候分为第\(i\)张牌是否发动考虑：

  • 不发动\((j<i)\)：所以前\(\ i-1\)张牌里发动了\(j\)张，这部分的概率是\(f[i-1][j]\)。然后考虑当前不发动的限制，前\(i-1\)张中的发动的那\(j\)张对应的回合里，发动之后这一轮就结束了，所以当前位置没有被考虑到的可能，不发动的概率为\(1\)，而剩下在后\(N-i\)张里，有\(K-j\)张要被发动，他们都经过了第\(i\)张的位置，这些回合中第\(i\)张牌不能发动，所以有

    \[f[i][j]+=f[i-1][j]\times(1-p_i)^{K-j} \]

  • 发动\((j\not=0)\)：前\(i-1\)张中发动了\(j-1\)张\(f[i-1][j-1]\)。同样的思路那\(j\)张牌对应的位置不会考虑到当前牌，当前牌在剩下的\(K-j+1\)轮里挑一轮发动就好了。而容斥起来非常麻烦，用常用的与或转化，不发动是与的条件，所以发动的概率为\((1-(1-p_i)^{K-j+1})\)，所以有

    \[f[i][j]+=f[i-1][j-1]\times(1-(1-p_i)^{K-j+1}) \]

• 考虑如何组合出每一张牌发动的概率，跟第二类转移的思路类似，设\(q_i\)表示第\(i\)张牌在这\(K\)轮中发动的概率，前面发动任意张数都不需要考虑当前位置，在剩下的轮里挑一轮发动就好了

  \[q_i=\sum_{j=1}^{min(i,K)-1} f[i-1][j]\times (1-(1-p_i)^{K-j}) \]

• 根据期望的线性性有\(E(sum)=\sum_{i=1}^n q_i\times v_i\)。

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\(Code\)

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#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 300
#define R register
#define gc getchar
using namespace std;
 
inline int rd(){
  int x=0; bool f=0; char c=gc();
  while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}
  while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}
  return f?-x:x;
}
 
inline double rdd(){
  double x=0,base=1; bool f=0; char c=gc();
  while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}
  while(isdigit(c)){x=x*10+(c^48);c=gc();}
  if(c=='.'){
    c=gc();
    while(isdigit(c)){x+=(base/=10)*(c^48);c=gc();}
  }
  return f?-x:x;
}
 
int n,m,val[N];
double p[N],mul[N][N],f[N][N];
 
inline void work(){
  n=rd(); m=rd();
  for(R int i=1;i<=n;++i) p[i]=rdd(),val[i]=(double)rd();
  for(R int i=1;i<=n;++i){
    mul[i][0]=1.0; f[i][0]=0;
    for(R int j=1;j<=m;++j) f[i][j]=0,mul[i][j]=mul[i][j-1]*(1.0-p[i]);
  }
  f[0][0]=1.0;
  for(R int i=1;i<=n;++i)
    for(R int j=0;j<=min(i,m);++j){
      if(j) f[i][j]+=f[i-1][j-1]*(1.0-mul[i][m-j+1]);
      if(i!=j) f[i][j]+=f[i-1][j]*mul[i][m-j];
    }
  R double ans=0.0,cnt=0.0;
  for(R int i=1;i<=n;++i){
    cnt=0.0;
    for(R int j=0;j<=min(i-1,m);++j) cnt+=f[i-1][j]*(1.0-mul[i][m-j]);
    ans+=cnt*val[i];
  }
  printf("%.10lf\n",ans);
}
 
int main(){
  int t=rd();
  while(t--) work();
  return 0;
}