[ HAOI 2015 ] 树上染色

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\(Description\)

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一棵\(N\)个节点的树，树边有边权。在这棵树中选择\(K\)个点，将其染成黑色，并将其他的\(N-K\)个点染成白色 。

定义树的价值为，黑点两两之间的最短距离的和加上白点两两之间的最短距离距离的和。问价值最大值是多少。

• \(N,K\in [1,2000],K\le N\)

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\(Solution\)

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• 将问题转化为对每条边的贡献统计。考虑一条边会将树分成两个连通块，则该边的贡献等于

  边权\(\times(\)由这条边分开的两个连通块内黑点个数之积\(+\)由这条边分开的两个连通块内白点个数之积\()\)

• 于是树形背包，\(f[i][j]\)表示在以\(i\)号节点为根的子树中放置\(j\)个黑点，该子树（不包括\(i\)节点到其父节点的边）中的所有边能够产生贡献的最大值。同时在\(DP\)的过程中维护子树大小。

• 转移的时候，考虑子树内黑节点个数为\(j\)，子树内白节点个数为\(size[i]-j\)，子树外黑色节点数为\(K-j\)，子树外白色节点数为\(N-K-(size[i]-j)\)。设\(w\)为\(v\)号节点到其当前点的边权，则转移有

  \[f[u][j]=max\bigg(f[u][j],f[u][j-k]+f[v][k]+w\times\big(k*(m-k)+(sz[v]-k)*(N-K-(sz[v]-k))\big)\bigg) \]

• 注意！\(K\)不能倒着枚举 我NC在这里WA了一个月都不知道为啥 ，原因是 \(K\) 的下界不是\(1\) 而是 \(0\) ，这代表一个状态转移自自己，且凭空加了一堆，这个转移其实是用来表示，已经处理完前面的子树，这一棵子树里一个点都不选的方案，显然要在最开始转移，否则相当于选了这个子树，最后又多得到了这个子树的价值。

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\(Code\)

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#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 4010
#define R register
#define gc getchar
#define inf 900000000000000000ll
using namespace std;
typedef long long ll;

inline ll rd(){
  ll x=0; bool f=0; char c=gc();
  while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}
  while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}
  return f?-x:x;
}

ll n,m,tot,sz[N],hd[N],f[N][N];

struct edge{ll w,to,nxt;}e[N<<1];
inline void add(ll u,ll v,ll w){
  e[++tot].to=v; e[tot].w=w;
  e[tot].nxt=hd[u]; hd[u]=tot;
}

void dfs(ll u,ll fa){
  sz[u]=1;
  for(R ll i=2;i<=m;++i) f[u][i]=-inf;
  for(R ll i=hd[u],v;i;i=e[i].nxt)
    if((v=e[i].to)!=fa){
      dfs(v,u);sz[u]+=sz[v];
      for(R ll j=min(sz[u],m);~j;--j)
        for(R ll k=0;k<=min(j,sz[v]);++k)
          f[u][j]=max(f[u][j],f[u][j-k]+f[v][k]+(ll)e[i].w*(k*(m-k)+(sz[v]-k)*(n-m-(sz[v]-k))));
    }
}

int main(){
  n=rd(); m=rd();
  for(R ll i=1,u,v,w;i<n;++i){
    u=rd(); v=rd(); w=rd();
    add(u,v,w); add(v,u,w);
  }
  dfs(1,0);
  printf("%lld\n",f[1][m]);
  return 0;
}