[ BZOJ 3210 ] 花神的浇花集会

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\(Description\)

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给出\(N​\)个整点的坐标，在坐标系中选择一个整点，使得这个整点到这\(N​\)个点的切比雪夫距离之和最小。

• \(N\in [1,10^5]\)，\(x_i,y_i\in [0,10^5]\)

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\(Solution\)

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• 首先对于一个点，切比雪夫距离并不好快速求出，考虑转化为曼哈顿距离，将每个点\((x_i,y_i)\)变为\((\frac{x_i+y_i}{2},\frac{x_i-y_i}{2})\)，关于转化的部分可以参考：曼哈顿距离与切比雪夫距离的互化。
• 然后就是经典的运输问题，将两个坐标系的方向分开考虑，考虑一个坐标系上的问题，就是数轴上有一些点，选择一个点到所有点的距离和最小，这个的答案是中位数，可以通过微扰法证明。
• 于是将横纵坐标拆开排序，分别取中位数，因为选的点只要求是整点，并没有要求是给出点之一，所以直接组合这个点即可。将其还原到切比雪夫问题的坐标系，将得到的点\((x,y)\)变为\((x+y,x-y)\)即可，注意到得到的点的坐标可能不是整点，所以把周围的整点都算一遍取\(min\)就可以了。
• 关于精度问题， 同样可以采取在曼哈顿距离与切比雪夫距离的互化中介绍的策略，最后找点的时候再除以\(2\)。

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\(Code\)

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#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define R register
#define gc getchar
#define N 100010
using namespace std;
typedef long long ll;

ll n,x[N],y[N],sx[N],sy[N],ans=900000000000000000;

inline ll rd(){
  ll x=0; bool f=0; char c=gc();
  while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}
  while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}
  return f?-x:x;
}

inline ll calc(ll nx,ll ny){
  ll res=0;
  for(R ll i=1;i<=n;++i) res+=max(abs(nx-x[i]),abs(ny-y[i]));
  return res;
}

int main(){
  n=rd();
  for(R ll i=1;i<=n;++i){
    x[i]=rd(); y[i]=rd();
    sx[i]=x[i]+y[i]; sy[i]=x[i]-y[i];
  }
  sort(sx+1,sx+1+n);
  sort(sy+1,sy+1+n);
  ll ansx=((sx[(n+1)>>1]+sy[(n+1)>>1])>>1);
  ll ansy=((sx[(n+1)>>1]-sy[(n+1)>>1])>>1);
  for(R ll i=-1;i<=1;++i)
    for(R ll j=-1;j<=1;++j) ans=min(ans,calc(ansx+i,ansy+j));
  printf("%lld\n",ans);
  return 0;
}