NOIP2024集训 Day51 略解
前言
你只记得，努力之后，是九死一生。却忘了，若不努力，便是十死无生。
感觉今天的题充其量也是一堆典题，可是我还是菜的不会几道，做过的都不会了。。
Cheap Robot
显然，你可以先从每个充电站出发跑一个多源最短路，得到每个点 \(x\) 到其最近的充电站的距离 \(dis_x\)。
有一个更加显然的东西是，你无论当前走到了哪个点，假设是 \(x\)，当前剩余容量为 \(y\)，你一定要满足 \(dis_x\le y\)。
同理，如果你要到达一个点，那么油箱容量也必须 \(\ge dis_x\)。
那么，你发现，对于任意一条边 \((u,v,w)\)，经过他所需的最小容量就是 \(dis_u+dis_v+w\)，你要求的就是对于 \(a\to b\) 的每条路径上经过每条边的最小容量最大值的最小值。
显然直接上 \(\texttt{Kruskal}\) 重构树就直接秒了。
有序奶牛
题目保证按照输入的偏序建边一定是个 \(\texttt{Dag}\)，而我最开始根本就没有发现这件事情。
一个比较直观的删边方法就是你再删掉这条边之后，剩下的边仍然可以使得这条边的起点到达终点。
具体实现就是你先跑一边拓扑序，然后对于每一条边 \(u,v\) 按照 \(\text{topo}_u\) 为第一关键字，\(\text{topo}_v\) 为第二关键字从小到大排序。
然后你按照排序后的顺序遍历每条边，更新连通性即可，可以通过 \(\texttt{Bitset}\) 做到 \(\mathcal{O}(\frac{nm}{w})\)。
变换序列
按照题目中给得 \(D(i,j)\) 的定义和具体的值，每个点最多连出去四条边，然后直接跑最小字典序完美匹配即可。
字典序的话你直接对于边权最小到大遍历即可。
Dynamic Shortest Path / 动态最短路
挺不错的一道题。
暴力思路是你对于每次操作之后跑一遍 \(\texttt{Dijkstra}\)，复杂度 \(\mathcal{O}(q\times m\log n)\)，直接炸掉。
我们发现这个 \(\log n\) 非常难受，想一下有没有办法把他搞掉。
有一个比较重要的东西是，如果 \(\forall x\in[1,n],0\le dis_x\le V\)，那么你可以把堆优化 \(\texttt{Dijkstra}\) 改成用桶排优化，复杂度可以做到 \(\mathcal{O}(V+n+m)\)。
我们发现每次修改 \(c\) 条边，每次边权加一，而 \(\sum c\le 10^6\)，故我们先考虑跑一遍 \(\texttt{Dijkstra}\) 求出初始 \(dis_x\)，然后每次修改之后求得每个点距离的增量数组 \(add_x\)。
观察到 \(add_x=\min_{(x,j,w)\in E} dis_j+add_j+w-dis_x\)，且满足对于每次修改，有 \(\forall x,x\in[1,n],0\le add_x\le c\)，故总复杂度 \(\mathcal{O}(q\times (c+n+m))\) 可过。
Exhausted?
显然有一个非常劣的贪心性质是，按照 \(l_i\) 为第一关键字，\(r_i\) 为第二关键字按照顺序填，填不下就往后面补。
但是由于无法满足 \(r_i\) 单调，故直接这样写是错的。
我们再考虑一下，如果左边塞不下了，那么无论如何，都要有一个人坐到右边，那么我们可以吧左边有位置的一个人踢出来，让他坐在右边。那我们肯定是把 \(r_i\) 小的踢出来，这样显然更优。
那就好办了，我们往左边塞的时候，坐不下就把 \(r_i\) 最小的踢掉，可以用小根堆维护。把左边塞完之后，再把没座位的，以同样的方法往右边塞，实在没办法就只能补了。
对于贪心的正确性，可以从霍尔定理的角度进行理解。
自行车
首先，我们先看什么时候一定不合法。即你对于任意三个点 \(i,j,k\) 如果其满足 \(b_{i,j}<\min(b_{i,k},b_{k,j})\) 那就显然不合法。（根据合法的定义，这个很直观）
然后这个时候你直接搞一个完全图应该就可以直接合法了，但是边数会炸掉。考虑能不能搞出一颗合法的生成树。
显然这个地方你要搞一颗最大生成树，因为你是要两个点路径上最小值的最大值为 \(b_{i,j}/c_{i,j}\)。此时我们先只考虑 \(b\)。暴力 \(n^2\) 建边，然后跑生成树。观察到如果此时连接的两个点 \((i,j)\) 是联通的，那么你显然不需要连，因为此时你显然满足对于同样在这个连通块内的点 \(k\)，有 \(b_{i,j}\le \min(b_{i,k},b_{k,j})\)，而为了合法，你又必须满足 \(b_{i,j}\ge \min(b_{i,k},b_{k,j})\) 于是你有 \(b_{i,j}=\min(b_{i,k},b_{k,j})\)，此时你这颗生成树构建出来对 \(b\) 显然是合法的。
同理，直接对 \(c\) 再跑一遍。但是对于 \(b_{i,j}+c_{i,j}< w\) 这些边你是绝对不可以加进去的，最开始跑生成树的时候直接跳过即可，因为他显然加进去之后会导致不合法。
然后将 \(b,c\) 的答案合并起来即可。
兔兔与蛋蛋
一道不错的二分图博弈好题。
如果你直接按照局面暴力 \(2^{n\times m}\) 建边你就废了。
首先有一个很重要的性质是，每个黑白棋只会被移动一次，这个应该可以非常简单的通过奇偶性进行证明。
而有了这个性质的基础，我们就可以尝试把每个点放在二分图上，对于空格看作黑点，因为是兔兔先移动，黑白染色直接放上去，然后黑白之间建边。
由于每个点只会被移动一次，换句话说就是棋盘上每个点只会被经过一次，从而对应了二分图博弈类似的下棋问题，也迁移到了二分图匹配每个点只能在一个匹配上面，然后就直接套板子。
对于兔兔的失误在哪里，就是他操作之前是必胜，操作之后是必败，这一步就是失误，直接暴力二分图博弈判断即可。\
后记
I wish I was special
You're so very special
But I'm a creep, I'm a weirdo
