[ARC157F] XY Ladder LCS 题解

我们尝试给这个抽象题来一篇题解。

思考过程还是很重要的。

首先看了这个题，一看数据范围 $n\le 50$，然后就不懂了，你告诉我这玩意可以状压？？

然后我们一顿乱想，发现如果 $n$ 除以一个 $3$，那我们是不是就可以状压了。

那怎么除以 $3$ 呢。

接着我们手玩一下样例，发现似乎这个答案他不是很小啊。

然后我们继续，我们发现，如果答案够大，那么我们公共子序列的两对匹配点，假设在 $S,T$ 分别为 $(i_1,j_1),(i_2,j_2)$，他就可以保证 $|max\{i_2-i_1,j_2-j_1\}|\le n-ans$。

所以，如果我们的答案 $ans\ge {\displaystyle \frac{n}{3}}$（向下取整），那我们就可以把两对匹配点之间的交换状况直接状压出来。

那么我们胡乱证明一下：

我们可以把这个序列分成若干个长度为 $3$ 的连续段，例如 $[1,3],[4,6],[7,9]$ 之类。

然后由于 $S_i,T_i\in \{X,Y\}$，所以我们可以在里面把 $2^6$ 种情况全部暴力枚举出来，然后发现里面至少会产生一个长度为 $2$ 的公共子序列，所以答案必然 $\ge {\displaystyle \frac{2n}{3}}$。

最终我们就通过一系列联想得到了这个结论。

然后有一个非常重要的东西，如果我们把 $X$ 当作 $1$，$Y$ 当作 $0$，那么最终答案就是这个二进制串的最大值，完美将方案输出，字典序最小，还有个数最大结合在一起。

然后我们考虑怎么状压。

这个状态是真的抽象啊，考场上纯属乱想的状态，好难解释。。

我们定义 $d{p}_{i,ST}$，表示当前在 $S,T$ 中考虑到了 $i$，从上次匹配点到当前点的状态为 $ST$ （这个 $ST$ 我很难解释，就是指在中间这一段中，你的 $S,T$ 可以取的字符，$X$ 为 $1$，$Y$ 为 $0$，由于可以交换，所以我们就将 $S,T$ 不区分开，不然你对两个都要打一个状态），的最小字典序（这个字典序就用上述的二进制串表示，其实就是这个二进制串的最大值）。

考虑顺推，这逆推太难了。

以及，为了方便，我们将 $1$ 作为初始状态，因为我们后面要从最高位开始向下找第一个满足条件的，所以需要先把最高位立在前面。

我们钦定 $S_i=X$ 是，$a_i=0$，否则 $a_i=1$。对于 $T_i$ 对应 $b_i$ 同理。

然后，如果我们不在这一步进行匹配，由于没有区分 $S,T$，就有下面两种情况：

• $d{p}_{i+1,ST<<1|a_i}=max\{d{p}_{i+1,ST<<1|a_i},d{p}_{i,ST}\}$

• $d{p}_{i+1,ST<<1|b_i}=max\{d{p}_{i+1,ST<<1|b_i},d{p}_{i,ST}\}$

（当然，进行这一步的前提是，你左移之后不会超过 $2^{\frac{2n}{3}}$）

接着，如果我们要用 $S_i,T_i$ 进行匹配，那么分为 $3$ 种情况：

• 用 $S_i$ 匹配 $T_i$，也就是 $S_i=T_i$ 时。那么显然有 $d{p}_{i+1,0}=max\{d{p}_{i+1,0},d{p}_{i,ST}<<1|a_i\}$。

• 用 $S_i$ 匹配前面的状态。我们从最高位开始（因为是左移，所以越高位越前面，而我们当然贪心的希望去选前面的符合要求的来匹配）找到第一个二进制位上等于 $a_i$ 的位置，将后面全部删掉，然后再将 $b_i$ 加入这个状态的首位（因为他没使用），假设操作完毕的状态为 $nxt$，那么有 $d{p}_{i+1,nxt}=max\{d{p}_{i+1,nxt},d{p}_{i,ST}<<1|a_i\}$。

• 用 $T_i$ 同理，将第二种情况的 $a,b$ 和 $S,T$ 交换一下就行。

由于此时时间复杂度已经达到 $n\times 2^{\frac{n}{3}}$，所以对于 $nxt$，我们直接用一个 $Nxt[ST][0/1][0/1]$ 来预处理即可。

这部分之前考试都有想到，但是范智打错。。

我们可以在思考一下正确性，就是你每次遇到 $S_i,T_i$ 要么将两者互相匹配，要么在后续状态中也只会选择其中的一个进行匹配，故状态只需要维护一个。

最后找到 $d{p}_{n,i}$ 的最大值（因为是二进制串），然后转化为 $X,Y$ 输出即可。

话说这题二进制串的到处乱移是真恶心。

$\mathtt{\text{Code}}$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
long long dp[65][1 << 21];
int nxt[1 << 21][2][2];
int n;
char a[65], b[65];
signed main()
{
//	freopen("try.in", "r", stdin);
//	freopen("try.out", "w", stdout);
	scanf("%lld", &n);
	scanf("%s", a + 1), scanf("%s", b + 1);
	int limit = ceil(n / 3.0); 
	for (int i = 1; i < (1 << limit); ++i)
	{
		for (int j = 0; j < 2; ++j)
		{
			for (int k = 0; k < 2; ++k)
			{
				int pos = -1;
				for (int l = (__lg(i) - 1); l >= 0; --l) if(((i >> l) & 1) == j)
				{
					pos = l;
					break;
				}
				if(pos == -1) continue;
				nxt[i][j][k] = (((i & ((1ll << pos) - 1)) + (1 << pos)) << 1) + k;
			}
		}
	}
	dp[0][1] = 1;
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	for (int j = 0; j < (1 << limit); ++j)
	{
		if(!dp[i][j]) continue;
		int p = (a[i + 1] == 'X'), q = (b[i + 1] == 'X');
		if(nxt[j][p][q]) dp[i + 1][nxt[j][p][q]] = max(dp[i + 1][nxt[j][p][q]], (dp[i][j] << 1) + p);
		if(nxt[j][q][p]) dp[i + 1][nxt[j][q][p]] = max(dp[i + 1][nxt[j][q][p]], (dp[i][j] << 1) + q);
		if(((j << 1) + p) < (1 << limit)) dp[i + 1][(j << 1) + p] = max(dp[i + 1][(j << 1) + p], dp[i][j]);
		if(((j << 1) + q) < (1 << limit)) dp[i + 1][(j << 1) + q] = max(dp[i + 1][(j << 1) + q], dp[i][j]);
		if(p == q) dp[i + 1][1] = max((dp[i][j] << 1) + p, dp[i + 1][1]);
	}
	long long ans = 0;
	for (int i = 0; i < (1 << limit); ++i) ans = max(ans, dp[n][i]);
	int cnt = __lg(ans);
	for (int i = cnt - 1; i >= 0; --i) if((ans >> i) & 1) putchar('X'); else putchar('Y');
	return 0;
}