AtCoder Beginner Contest 298

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$$\text{Round 5 : AtCoder Beginner Contest 298 (VP)}$$

一言:
成一事者，是失之不渝的愚者；毁一事者，是停滞不前的贤者。
——不正经的魔法讲师

$\text{Ex: Sum of Min of Length}$

这次比赛总体难度不是很大，可能也是我第一次自己独立做出 $\text{Ex}$。（虽然不是场切，也调了很久，没看题解，所以纪念一下。）

这题维护的东西比较多，下面我们一个一个列出来。（默认以 $1$ 为根。）

• $de{p}_i$ 表示 $i$ 节点的深度。

• $si{z}_i$ 表示 $i$ 子树的大小。

• $di{s}_i$ 表示 $i$ 到 $i$ 子树中每个点的距离之和。

• $ed{s}_i$ 表示 $i$ 到每个点的距离之和。

• $f_{i,j}$ 表示 $i$ 的 $2^j$ 个祖先是谁。

显然，$di{s}_i$ 正常当作树形 $\text{DP}$ 求，$ed{s}_i$ 就换根求，$f_{i,j}$ 就是一个倍增，用来求 $\text{lca}$ 。

接着，对于每一组询问 $(x,y)$，设 $z=lca(x,y)$。假设 $x$ 的深度比 $y$ 的深度大，否则交换。定义 $dist$ 为 $x$ 和 $y$ 到 $lca$ 的总和。

首先对于不属于 $z$ 子树的那一些点，答案显然就是 $z$ 到哪些点的距离之和 $ed{s}_z-di{s}_z$ 在加上 $z$ 到 $y$ 的距离（肯定比到 $x$ 的距离小） 乘上 $n-siz{e}_z$。（第二部分是因为那些距离还要走到 $z$）

显然，对于 $x$ 的 ${\displaystyle \frac{dist}{2}}$ 级祖先的子树，显然这些点的距离都是到 $x$ 最小（设这个祖先为 $k$）。所以这部分答案就是 $x$ 到所有点的距离，减去 $x$ 到这个祖先子树以外的距离，也就是 $ed{s}_x-(ed{s}_z-di{s}_z)-(n-si{z}_k)\times {\displaystyle \frac{dist}{2}}$。

最后对于 $y$ 的那一部分，也就是 $y$ 到在 $z$ 子树中不包含 $k$ 的子树的点的距离之和。也就是将 $y$ 到所有点的距离减去 $y$ 到 $z$ 子树以外点的距离，再减去 $k$ 子树中点到 $y$ 的距离，就是 $ed{s}_y-di{s}_k-si{z}_k\times (dist-{\displaystyle \frac{dist}{2}})-(ed{s}_z-di{s}_z)-(n-siz{e}_z)\times (de{p}_y-de{p}_z)$。

最后将三部分加起来就是答案。

下面是一些需要特殊处理的情况，每种都需要特殊处理。（至于怎么处理，就举一反三吧。）

• $x=y$

• $k=z$

• $z=y$

$\text{Submission}$

$\text{What I learned:}$

• 这场比赛在思想上并没有学到什么特殊的，但是独立做出 $\text{Ex}$ 还是让我很开心的，增强了一点自信心吧，总之还是要大胆的去实践自己推出来的东西。