AtCoder Beginner Contest 298
一言:
成一事者，是失之不渝的愚者；毁一事者，是停滞不前的贤者。
——不正经的魔法讲师
\(\text{Ex: Sum of Min of Length}\)
这次比赛总体难度不是很大，可能也是我第一次自己独立做出 \(\text{Ex}\)。（虽然不是场切，也调了很久，没看题解，所以纪念一下。）
这题维护的东西比较多，下面我们一个一个列出来。（默认以 \(1\) 为根。）
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\(dep_i\) 表示 \(i\) 节点的深度。
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\(siz_i\) 表示 \(i\) 子树的大小。
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\(dis_i\) 表示 \(i\) 到 \(i\) 子树中每个点的距离之和。
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\(eds_i\) 表示 \(i\) 到每个点的距离之和。
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\(f_{i,j}\) 表示 \(i\) 的 \(2^j\) 个祖先是谁。
显然，\(dis_i\) 正常当作树形 \(\text{DP}\) 求，\(eds_i\) 就换根求，\(f_{i,j}\) 就是一个倍增，用来求 \(\text{lca}\) 。
接着，对于每一组询问 \((x,y)\)，设 \(z=lca(x,y)\)。假设 \(x\) 的深度比 \(y\) 的深度大，否则交换。定义 \(dist\) 为 \(x\) 和 \(y\) 到 \(lca\) 的总和。
首先对于不属于 \(z\) 子树的那一些点，答案显然就是 \(z\) 到哪些点的距离之和 \(eds_z - dis_z\) 在加上 \(z\) 到 \(y\) 的距离（肯定比到 \(x\) 的距离小） 乘上 \(n-size_z\)。（第二部分是因为那些距离还要走到 \(z\)）
显然，对于 \(x\) 的 \(\dfrac{dist}{2}\) 级祖先的子树，显然这些点的距离都是到 \(x\) 最小（设这个祖先为 \(k\)）。所以这部分答案就是 \(x\) 到所有点的距离，减去 \(x\) 到这个祖先子树以外的距离，也就是 \(eds_x - (eds_z-dis_z)-(n-siz_k) \times \dfrac{dist}{2}\)。
最后对于 \(y\) 的那一部分，也就是 \(y\) 到在 \(z\) 子树中不包含 \(k\) 的子树的点的距离之和。也就是将 \(y\) 到所有点的距离减去 \(y\) 到 \(z\) 子树以外点的距离，再减去 \(k\) 子树中点到 \(y\) 的距离，就是 \(eds_y-dis_k-siz_k\times (dist-\dfrac{dist}{2}) - (eds_z-dis_z)-(n-size_z)\times (dep_y-dep_z)\)。
最后将三部分加起来就是答案。
下面是一些需要特殊处理的情况，每种都需要特殊处理。（至于怎么处理，就举一反三吧。）
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\(x=y\)
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\(k=z\)
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\(z=y\)
\(\text{What I learned:}\)
- 这场比赛在思想上并没有学到什么特殊的，但是独立做出 \(\text{Ex}\) 还是让我很开心的，增强了一点自信心吧，总之还是要大胆的去实践自己推出来的东西。
