重庆八中周赛 10

Round 4 : cqbz Weekly Round 10

一言:
无论你在哪里，就算我看不见你，我也会一直注视着你。
——妖精的尾巴

$D: cloud$

如果把买入和卖出分开处理显然会有一些繁琐，所以我们考虑把他们合在一起，那么买入的利润就是价格的相反数，而卖出就会失去核心。

我们可以很显然的想到将核心当作容量，利润当作价值，定义 $d p_{i}$ 表示还剩下核心数量为 $i$ 的最大利润，那么显然就可以想到一个 $01$ 背包 $DP$ 。

但是只是单纯这样的话，我们会发现，对于一些卖出，他可能时钟频率不合法。

所以我们考虑将时钟频率从小到大排序，然后根据最开始的分析来一遍背包 $D P$ ，最后枚举还剩下多少个核心，取一个最大值即可。（特别的，对于时钟频率相同的，将买入的放前面，卖出的放后面。）

$Submission$

$E: matrix$

解法一：

考虑 $dp$ 。

我们定义 $d p_{i, j}$ 表示前 $i$ 行，在保证每一行的最小值为 $1$ 的前提下，有 $j$ 列的最小值是 $1$ 。另外，为了方便叙述，我们定义 $m$ 为原题中的 $k$ 。

对于初始值，显然有 $d p_{0, 0} = 1$ 。

接着我们考虑转移。首先顺着枚举状态中的 $i, j$ ，然后枚举 $k$ 表示这一行会新产生 $k$ 列的最小值是 $1$ 。

对于 $k = 0$ ，由于第 $i$ 行必须有 $1$ ，并且不能再新产生一列的最小值是 $1$ ，所以只能在这最小值已经为 $1$ 的 $j$ 列中，使得其中必须存在一个 $1$ 。计算的话，就是用乱选减去一个 $1$ 都不选，及 $d p_{i, j} = (m^{j} - (m - 1)^{j}) \times d p_{i - 1, j}$ 。
对于剩余情况，显然这一行已经有 $1$ 了，所以我们只需要考虑列的情况。显然，我们需要从 $n - （ j - k ）$ （就是在上一行还没有产生这 $k$ 列的状态）选出 $k$ 列来填补 $1$ ，对于上一状态就已经最小值为 $1$ 的列，显然是可以乱选的，也就是 $m^{(j - k)}$ ，那么对于剩余的 $n - j$ 列，只要不取 $1$ 就可以了，也就是 $(m - 1)^{n - j}$ 。总的来说，就是 $d p_{i, j} = \sum_{k = 1}^{j} d p_{i - 1, j - k} \times C (n - j + k, k) \times m^{(j - k)} \times (m - 1)^{n - j}$ 。

将两个部分的解加起来即可。

最后，直接输出 $d p_{n, n}$ 即可。

总复杂度为 $O (n^{3} \log n)$ 。

解法二：

考虑容斥，枚举有 $i$ 行， $j$ 列的最小值不是 $1$ 。

乱推一波式子，显然有 $\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} (- 1)^{i + j} \times C (n, i) \times C (n, j) \times (k - 1)^{(i + j) \times n - i \times j} \times (k - 1)^{(n - i) \times (n - j)}$ 。

$Submission$

$F: virus$

这题应该是最有价值的了。

题意就是求逆序对个数的期望，不难发现，对于树上的一对点对 $(i, j), i > j$ ，那么显然最终的答案就是求 $i$ 比 $j$ 先到的概率之和。

首先可以枚举根是谁

仔细思考可以发现，对于是 $i$ 先还是 $j$ 先到，他的概率只会与走到 $lca(i,j)$ 之后的操作相关，也就是说，就是要求 $i$ 有 $x$ 步到 $l c a (i, j)$ ， $j$ 有 $y$ 步到 $l c a (i, j)$ ，要求 $i$ 先到的概率。（显然，这个概率实际上只与 $x, y$ 有关）

所以接下来考虑一个简单的递推。定义 $f_{i, j}$ 表示 $x$ 有 $i$ 步要走， $y$ 有 $j$ 步要走， $x$ 比 $y$ 先到的概率。（这个值已经说明过与 $x, y$ 无关）

对于初始值，显然有 $d p_{0, i} = 1$ 。

如果你走的下一步并不能靠近 $x$ 或者 $y$ ，那么这一步显然对答案没有任何影响，我们就只需要考虑是靠近了 $x$ 还是靠近了 $y$ ，所以有 $f_{i, j} = \frac{f_{i - 1, j} + f_{i, j - 1}}{2}$ 。

最后，对于每一个根，枚举 $(i, j)$ ，其产生的贡献就是 $f_{d e p_{i} - d e p_{l c a (i, j)}, d e p_{j} - d e p_{l c a (i, j)}}$ 之和。

时间复杂度 $n^{3} \log n$ （因为 $l c a$ 需要复杂度，但是也可以优化）。

$Submission$

$What I learned:$

对于一堆 $i$ 对应一个 $j$ ，如果有一些限制条件，使得其他的 $i$ 不合法，且为了方便求解，我们需要把 $i, j$ 合并在一起算，那么我们可以考虑排一个合适的顺序，使得 $j$ 前面的 $i$ 对他全部合法，这样更能方便求解。
对于组合数学，一个很好的方式就是背包 $D P$ 。
对于树上 $i, j$ 两个点的一些对比，是否只需要从他的 $l c a (i, j)$ 开始呢。
考场上第五题文件名为 $martix$ 但我拼的 $matrix$ ，所以100分没了，出题人你真的英语就这么好吗。。下次复制吧。