st 算法学习笔记

前言

在看这篇文章之前，请先自行了解以下几项东西：

• 1.倍增思想。

• 2.动态规划思想。

• 3.乘方位运算实现

如有错误，欢迎各位 dalao 批评指出。

什么是 $st$ 算法？

st 算法是一种解决 RMQ 问题的算法。RMQ 及 Range Minimum/Maximum Query，即区间最大最小值查询。

该算法采用了 动态规划和倍增 的思想，预处理 $O(nlogn)$，查询 $O(1)$，适用于一些查询较多的题目。

$st$ 算法具体实现

接下来给大家讲解如何实现 $st$ 算法。

我们假定是要求出 $a$ 数组上的区间最大值，

我们定义 $dp[i][j]$ 表示从 $i$ 开始，长度为 $2^j$ 的区间的最大值。

则对于初始值，$dp[i][0]=a[i]$，这个比较容易想到，即从 $i$ 开始，长度为 $1$ 的区间就是它本身，所以是 $a[i]$。

接着是状态转移。显然，对于一个长度为 $2^j$ 的区间，我们可以把它划分为两个长度为 $2^{j-1}$ 的区间，然后再求最大值。则状态转移为：$dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1])$，其中 $1<<(j-1)$，就表示 $2^{j-1}$ 。

但是，当我们状态转移在枚举循环时，我们需要注意的是，我们要先枚举区间长度越小的在枚举区间长度越大的，所以 $j$ 应该放在外层循环，而 $i$ 就应该放在内层循环。

则此时，我们就可以先预处理出所有 $dp[i][j]$。时间复杂度也就是 $O(nlogn)$。

核心代码：

void init()//预处理函数
{
	for(int i=1;i<=n;++i)
	dp[i][0]=a[i];//初始值
	for(int j=1;(1<<j)<=n;++j)//第二维j,注意 2^j 要小于n
	{
		for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;++i)//枚举i时要保证从i开始，有一个长度为 2^j 的区间时，不能超出 n。
		{
			dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i+(1<<j-1)]][j-1]);//状态转移
		}
	}
}

最后就是如何查询的问题。

假设我们要查询的是 $[l,r]$ 这个区间的区间最大值。我们可以发现，我们查询最大值的话，我们可以将 $[l,r]$ 分成两个区间来查询，并且这两个区间总体合起来要包含 $[l,r]$，且这两个区间可以不刚好包含，两个区间可以存在交集。

此时，我们可以定义一个数字 $k$，表示 ${\log }_2^{r-l+1}$（向下取整） ，则我们就可以根据 $k$，来求出我们要寻找的 $[l,r]$ 的区间最大值，即求出 $max(dp[l][k],dp[r-(1<<k)+1][k])$ 。这个查询的正确性也是十分明显，因为两个区间长度都是 $2^k$，并且 $2^k+2^k=2^{k+1}>(r-l+1)$，所以这两个区间一定可以完全覆盖 $[l,r]$。

查询核心代码：

int rmq(int l,int r)
{
	int k=log2(r-l+1);
	return max(dp[l][k],dp[r-(1<<k)+1][k]);
}

可以发现，$st$ 算法是无法完成修改操作的，即使要去完成也效率过慢。但是对于只查询的题目来说，$st$ 算法一定是当之无愧的神！

$st$ 算法的一些扩展

$st$ 算法是解决 RMQ 问题的，但是这种算法的思想我们却可以继续延伸下去。

$st$ 算法之所以不能解决区间和是因为他在查询时，取 $max$ 两个区间可能存在交集，也就是可能会重复计算。那么是不是可以重复计算的无修改的问题都可以运用 $st$ 算法的思想解决呢？of course!

为了让大家更好理解，我这里先抛给大家一道例题，相信你做出来一定可以领会到 $st$ 算法思想的精髓所在。

洛谷 P1890 gcd区间

显而易见，这个题目就是求区间 GCD ，并且我们可与发现，GCD 我们是可以重复计算的。举个例子，$gcd(10,5)=gcd(10,10,5)$。

既然可以重复计算，那就肯定可以用 $st$ 算法的思想进行求解了！

我们只需要把 RMQ 问题中的 $max$ 改为 $gcd$ 就可以了。（代码中为了方便，我直接调用了 c++ 的内置函数 __gcd）

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int a[500005];
int dp[500005][35];
void init()
{
	for(int j=1;(1<<j)<=n;++j)
	{
		for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;++i)
		{
			dp[i][j]=__gcd(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);//直接求 i~i+2^j-1 这个区间的gcd
		}
	}
}
int rmq(int l,int r)
{
	int k=log2(r-l+1);
	return __gcd(dp[l][k],dp[r-(1<<k)+1][k]);//我们只需要把 max 改为 __gcd 即可。
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;++i)
	scanf("%d",&a[i]),dp[i][0]=a[i];
	init();
	while(m--)
	{
		int l,r;
		scanf("%d%d",&l,&r);
		printf("%d\n",rmq(l,r));
	}
	return 0;
}

除了在算法思想上的扩展，对于算法本身，我们也可以进行扩展。

例如 $st$ 算法本身其实是可以有二维形式的，例题：洛谷 P2216 [HAOI2007]理想的正方形

这个题目的话思路还是比较清晰的，至于具体代码实现请读者自己实践，如果实在做不出来就看一看题解吧。

后记

今天的算法就讲到这里，希望大家能有所收获，如有不懂的地方，也可以私信我。