「TFOI R1」Unknown Graph 题解

这里是出题人题解。

$\text{Solution Of Problem C : Unknown Graph.}$

题意还是很清晰的，这里就不再赘述题意了。

首先如果没有 $q$ 的限制，显然有一种贪心思想就是每个点每次选剩余入度最多的与之连边。但是因为限制，就无法保证贪心的正确性。

那该怎么办呢？

一个大提示：这题是一道网络流。（您都看到这里了不会还不会做吧。

感觉如果知道算法是网络流的话，这题应该挺版的。建模方法如下：

• 源点与所有点 $i$ 建立容量为 $i{n}_i$ 的边。

• 所有点 $i+n$ 与汇点建立容量为 $ou{t}_i$ 的边。（$in,out$ 分别表是入度和出度）

• 对于任意两个点 $i,j$ 如果 $i\ne j$ 且 $i,j$ 之间可以连边的话（即没有被限制），将 $i,j+n$ 建立一条容量为 $1$ 的边。

最后跑一遍最大流，由于保证了有解，所以跑完之后肯定是满流。

由于这个图是一个近似二分图，而完全优化的 Dinic 在二分图的复杂度是 $\mathcal{O}(m\sqrt{n})$，此处，$m\approx n^2$，故是可行的。

输出方案的话，就是如果建立的第三种边容量是 $1$，就说明 $i$ 向 $j$ 连了一条边。

总的来说，这题难点在于想到这题是一道网络流，其他部分还是比较好理解的，输出方案也并不难。