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首先,如果你做过 BZ \(2144\),你可以发现一共只有:
- 中间的往左跳。
- 中间的往右跳。
- 两边的往中间跳。
第三个是对称的,我们不妨设他是 \(fa\),前两个一个 \(ls\),一个 \(rs\)。那么我们有一棵二叉树,现在要问从一个点到另一个点方案数。两个点设为 \(a,b\)。
和 \(2144\) 不同的是,\(k=100\) 非常的小。这个 \(\mathcal{O}(k^3)\) 都可以。
容易发现,离 \(a,b\) 太远的我们管都不用管。
有一种从 \(a\rightarrow b\) 的方法,就是 \(a\rightarrow lca(a,b)\rightarrow b\),所以有一个想法是设 \(dp_{i,j}\) 为我们现在用了 \(i\) 步,在 \(j\) 深度方案数,但是我们发现这个有时候对不上。还有一个想法是设 \(dp_{node,i}\) 为我们现在在 \(node\) 节点,走了 \(i\) 步,但是状态数太多,很大便。
所以,尝试合并两种思路?我们发现有一个关键的路径(在 \(lca(a,b)\rightarrow b\) 尤其关键),就是 \(a\rightarrow lca(a,b)\rightarrow b\)。为啥关键呢?考虑一个不在关键路径上的点,只有可能往上走才能到关键路径。而:
- \(a\rightarrow lca(a,b)\) 这一段,我们拐到 \(lca(a,b)\) 之前要在关键路径上。
- \(lca(a,b)\rightarrow b\) 这一段,我们必须在关键路径上才可以到 \(b\)。
还有一个比较重要的性质,就是(因为一个不在关键路径上的点,只有可能往上走才能到关键路径),所以所有这种不关键的点我们只需要记录到关键点的距离,其他的信息不重要(这里有一点 \(2001E\) 的感觉)。
所以我们就有新的 \(dp_{i,j,k}\) 为:我们在关键点 \(i\) 子树内,和 \(i\) 距离 \(j\),目前走了 \(k\) 步。转移比较简单。具体的:
- 若 \(j=0\),则可以到 \(ls,rs,fa\);如果 \(ls\) 是关键点则 \(dp_{i,0,k}+=dp_{ls,0,k-1}\),否则 \(dp_{i,0,k}+=dp_{ls,1,k-1}\),\(rs\) 同理(注意 \(fa\) 一定是关键点,如果有 \(fa\) 的话。有 \(fa\) 的条件是三个棋子不是等差数列)。
- 否则我们可以往下 \(j\leftarrow j+1\),或者往上 \(j\leftarrow j-1\)。注意往下有两个儿子,加贡献的时候要 \(\times 2\)。
还有一个小细节。就是如果 \(a\rightarrow lca(a,b)\rightarrow b\) 长度 \(<k\),我们还有可能会走到 \(lca(a,b)\) 上面再回来。因此我们设 \(2k\) 个关键点,分别是 \(a,b\) 的 \(0\sim k-1\) 级祖先即可。
dp 用记忆化搜索比较好写。时间复杂度 \(\mathcal{O}(k^3)\)。