游戏当中的秘密
因为我昨天玩游戏被骗，所以特此记录。（在飞机上算的，笑）
概率的游戏
假设现在有红、黄、蓝 \(3\) 种球各 \(8\) 个，让你摸出 \(12\) 个球（完全随机）。一共玩恰好 \(5\) 局游戏。假设有这个表：
| 你抽到的组合 | 你获得的钱数 |
|---|---|
| 543 | -30 |
| 444 | 5 |
| 642 | 5 |
| 552 | 15 |
| 633 | 20 |
| 651 | 50 |
| 732 | 80 |
| 741 | 100 |
| 750 | 150 |
| 831 | 300 |
| 660 | 800 |
| 822 | 2000 |
| 840 | 5000 |
其中 \(abc\) 指的是按照抽的个数从大到小的个数。一共有 \(13\) 种组合。如果是你，你会玩吗？
如果算一下概率，即 \(abc\) 的概率是 \(\displaystyle \frac{\texttt{f}(a,b,c)\times \binom{8}{a}\times \binom{8}{b}\times \binom{8}{c}}{\binom{24}{12}}\)，其中 \(\texttt{f}(a,b,c)\) 为 \(1\) 如果 \(sz=|\{a,b,c\}|=1\)，\(3\) 如果 \(sz=2\)，\(6\) 如果 \(sz=3\)。
那么，概率如下表：
| 你抽到的组合 | 你抽到这个组合的概率（\(\times 100\%\)） |
|---|---|
| 444 | 12.68418 |
| 543 | 48.70725 |
| 552 | 9.74145 |
| 633 | 9.74145 |
| 642 | 12.17681 |
| 651 | 2.78327 |
| 660 | 0.08698 |
| 732 | 2.78327 |
| 741 | 0.99403 |
| 750 | 0.09940 |
| 822 | 0.08698 |
| 831 | 0.09940 |
| 840 | 0.01553 |
如果计算 \(5\) 局你期望获得的钱数呢……是 \(-8.44042\)！是不是被骗了呢？
生成程序
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const int N = 60;
ll C[N][N];
void init(){
C[0][0]=1;
for (int i=1; i<N; i++){
C[i][0]=1;
for (int j=1; j<=i; j++){
C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];
}
}
}
ll cal(int a,int b,int c){
set<int> st;
st.insert(a),st.insert(b),st.insert(c);
int sz=st.size();
if (sz==1)return 1;
if (sz==2)return 3;
if (sz==3)return 6;
}
struct node {
int a,b,c;
long double pr;
node (int _a,int _b,int _c,long double _p){
a=_a,b=_b,c=_c,pr=_p;
}
bool operator < (const node &x) const {
return pr>x.pr;
}
};
const double mon[] = {-30,5,5,15,20,50,80,100,150,300,800,2000,5000};
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
init();
ll al=C[24][12];
long double sum=0;
vector<node> v;
for (int a=0; a<=8; a++){
for (int b=0; b<=8; b++){
for (int c=0; c<=8; c++){
if (a+b+c==12 && a>=b && b>=c){
ll p=cal(a,b,c)*C[8][a]*C[8][b]*C[8][c];
long double pr=1.*(long double)p/(1.*(long double)al);
sum+=pr;
v.push_back(node(a,b,c,pr));
}
}
}
}
sort(v.begin(),v.end());
int _=5;
long double pr_mon=0;
while (_--){
int id=0;
for (auto u : v){
pr_mon+=u.pr*mon[id];
id++;
}
}
cout<<pr_mon<<endl;
return 0;
}
无赖的游戏
这里是抽大奖环节！有一个格纸，每一个格子里面都有一个对应的奖品。有 \(4199\) 的 Iphone，也有 \(0.88\) 的红包。更重要的是，大奖（大于 \(3000\)）和小奖（小于 \(5\)）是交替的（一共偶数个格子，循环）。很傻的人会有一个念头，是不是 \(50\%\) 大奖！
游戏规则如下：\(5\) 个骰子，设投出来的和为 \(x\)。那么你从第 \(x\) 格，跳 \(x\) 格就是你的奖品。
看出来了吧。\(2x≡0 \mod 2\)。所以，你只可能跳在偶数格子，即小奖上面！
那你会想，小奖也是有大小的，怎么分配大小呢？你算了一下概率。
| 你投出来的和 | 投这个和的概率（\(\times 100\%\)） |
|---|---|
| 5 | 0.01286 |
| 6 | 0.06430 |
| 7 | 0.19290 |
| 8 | 0.45010 |
| 9 | 0.90021 |
| 10 | 1.62037 |
| 11 | 2.63632 |
| 12 | 3.92233 |
| 13 | 5.40123 |
| 14 | 6.94444 |
| 15 | 8.37191 |
| 16 | 9.45216 |
| 17 | 10.03086 |
| 18 | 10.03086 |
| 19 | 9.45216 |
| 20 | 8.37191 |
| 21 | 6.94444 |
| 22 | 5.40123 |
| 23 | 3.92233 |
| 24 | 2.63632 |
| 25 | 1.62037 |
| 26 | 0.90021 |
| 27 | 0.45010 |
| 28 | 0.19290 |
| 29 | 0.06430 |
| 30 | 0.01286 |
看出来了，是中间高两边低的。像我就是抽到了 \(18\)。
生成程序
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const int N = 33;
int cnt[N];
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
int sum=0;
for (int a=1; a<=6; a++)
for (int b=1; b<=6; b++)
for (int c=1; c<=6; c++)
for (int d=1; d<=6; d++)
for (int e=1; e<=6; e++){
sum++;
cnt[a+b+c+d+e]++;
}
for (int i=5; i<=30; i++){
long double pr=(long double)(1.*cnt[i])/(long double)(1.*sum);
cout<<"| "<<i<<" | "<<fixed<<setprecision(5)<<pr*100.<<" |"<<endl;
}
return 0;
}
结语
大家玩游戏就图个乐子，不要抱什么希望！
