ABC 293 E
前言
个人感觉这一场比赛 \(\tt{F<<E}\)。
题面描述
给出整数 \(A,X,M\),求 \(\displaystyle \sum^{X-1}_{i=0} A^i\)。
方法 \(1\)
若 \(2\mid Y-1\),\(\displaystyle \sum^{B-1}_{i=0} A^i=\displaystyle (\sum^{\frac{B-1}{2}}_{i=0} A^i) \times (1+A^{\frac{b+1}{2}})\)。
若 \(2\nmid Y-1\),\(\displaystyle \sum^{B-1}_{i=0} A^i=\displaystyle (\sum^{\frac{B-1}{2}}_{i=0} A^i) \times (1+A^{\frac{b+1}{2}})+A^{B-1}\)。
例如,\(3^0+3^1+3^2+3^3=(3^0+3^1)\times (1+3^2)\)。证明显然。
于是就可以分治。
点击查看代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define dg(x) cout<<#x<<"="<<x<<endl
using ll = long long;
ll a,x,mod;
ll pw(ll n){
ll res=1,b=a;
while (n){
if (n&1){
res*=b%mod;
res%=mod;
}
b=b%mod*b%mod;
n>>=1;
}
return res;
}
ll cal(ll n){
if (n==1){
return 1;
}
ll res=cal(n/2)*(1+pw(n/2))%mod;
if (n&1){
res+=pw(n-1);
}
return res%mod;
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cin>>a>>x>>mod;
cout<<cal(x)%mod<<endl;
return 0;
}
方法 \(2\)
人类智慧可得,\(\displaystyle \sum^{X-1}_{i=0} A^i=\frac{A^X-1}{A-1}\)。但是不一定 \(\gcd(A-1,M)=1\)。
因为 \(A-1\mid A^X-1\),所以可以这样求答案:令 \(K≡A^X-1 \mod M(A-1)\)。答案是 \(\displaystyle \frac{K}{A-1}\)。
要用 \(\tt{int128}\)。
点击查看代码
#define int __int128
int a,x,m;
int pw(int b,int n,int mod){
int res=1;
while (n){
if (n&1){
res=res*b%mod;
}
b=b%mod*b%mod;
n>>=1;
}
return res;
}
signed main(){
read(a);
read(x);
read(m);
if (a==1){
int ret=x%m;
print(ret);
return 0;
}
int res=pw(a,x,m*(a-1));
res-=1;
res=(res+m*(a-1))%(m*(a-1));
res/=(a-1);
res%=m;
print(res);
return 0;
}
方法 \(3\)
AtCoder 的官方题解。
点击查看代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define dg(x) cout<<#x<<"="<<x<<endl
using ll = long long;
const int N = 2;
ll a,x,mod;
struct matrix {
int mat[N][N];
void assign(int a,int b,int c,int d){
mat[0][0]=a;
mat[0][1]=b;
mat[1][0]=c;
mat[1][1]=d;
}
void init(int f){
memset(mat,0,sizeof mat);
for (int i=0; i<N; i++){
mat[i][i]=f*1;
}
}
matrix operator * (const matrix &a){
matrix res;
res.init(0);
for (int i=0; i<N; i++){
for (int j=0; j<N; j++){
for (int k=0; k<N; k++){
(res.mat[i][j]+=1ll*mat[i][k]*a.mat[k][j]%mod)%=mod;
}
}
}
return res;
}
matrix operator ^ (ll x){
matrix res;
res.init(1);
matrix a;
for (int i=0; i<N; i++){
for (int j=0; j<N; j++){
a.mat[i][j]=mat[i][j];
}
}
while (x){
if (x&1){
res=res*a;
}
a=a*a;
x>>=1;
}
return res;
}
};
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cin>>a>>x>>mod;
matrix f;
f.assign(a,1,0,1);
cout<<(f^x).mat[0][1]<<endl;
return 0;
}